阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系公开课教案

第5课时

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

教学目标

【知识与技能】

使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象的方法.

【过程与方法】

使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法;让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.

【情感、态度与价值观】

鼓励学生思维多样性,发展学生的创新意识.

重点难点

【重点】

用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标.

【难点】

理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标.

教学过程

一、问题引入

1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

(函数y=-4(x-2)2+1的图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).)

2.函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?

(函数y=-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位得到的.)

3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质?

(当x<2时,函数值y随x的增大而增大;当x>2时,函数值y随x的增大而减小;当x=2时,函数取得最大值,最大值y=1.)

二、新课教授

问题1.思考:我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点坐标为(h,k),二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗?

师生活动:

教师引导学生回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.

学生积极回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.

学生积极展示探究结果,教师评价.

配方可得:

y=x2-6x+21

=(x-6)2+3

由此可知,抛物线y=x2-6x+21的顶点坐标是(6,3),对称轴是x=6.

问题2.你能画出二次函数y=x2-6x+21的图象吗?

分析:由以上问题的解决,我们已经知道函数y=x2-6x+21=(x-6)2+3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点,可以采用描点作图的方法作出函数y=x2-6x+21的图象,通过观察

图象进而得到这个函数的性质.

师生活动:

教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-6x+21的图象.

学生回忆画图的步骤,动手画图,相互比较.

教师对学生的作品进行评价,对于画得好的学生要加以鼓励,激发学生的学习热情.

解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:

x

y

…

…

3

4

5

5

6

3

7

8

5

9

…

…

(2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;

(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2-6x+21的图象.

与同学分享作图过程.

说明:(1)列表时,应根据对称轴是x=6,以6为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值.相应的函数值是相等的;

(2)直角坐标系中,x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同.要根据具体问题选取适当的长度单位,使画出的图象美观.

问题3.观察函数y=x2-6x+21的图象,它具有哪些性质?

师生活动:

教师引导学生观察二次函数y=x2-6x+21的图象.

学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识.

对函数y=x2-6x+21来说:

当x<6时,函数值y随x的增大而减小;

当x>6时,函数值y随x的增大而增大;

当x=6时,函数取得最小值,最小值y=3.

问题4.以上介绍的都是给出一个具体的二次函数来研究它的图象与性质.那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bz+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标呢?你能把结果写出来吗?

师生活动:

教师留给学生足够的思考、探究时间.

学生联系上述处理问题的办法,试着对y=ax2+bx+c进行配方.

师生共同完成配方过程,分享成功.

y=ax2+bx+c

=a(x2+x)+c

=a[x2+x+()2-()2]+c

=a[x2+x+()2]+c-

=a(x+)2+

当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.

对称轴是x=-,顶点坐标是(-,).

三、巩固练习

1.通过配方写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(1)y=3x2+2x;

(2)y=-x2-2x;

(3)y=-2x2+8x-8 (4)y=x2-4x+3.

【答案】略

2.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b=

,c=

.

【答案】-4

0

3.已知二次函数y=-2x2-8x-6,当

时,y随x的增大而增大;当x=

时,y有最

值,是

.

【答案】x<-2

-2

大

2

4.用配方法求二次函数y=-2x2-4x+1的顶点坐标.

【答案】y=-2x2-4x+1

=-2(x2+2x)+1

=-2(x+1)2+3.

它的顶点坐标为(-1,3).

四、课堂小结

一般地,我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标与对称轴.

y=ax2+bx+c

=a(x+)2+

因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点的坐标是(-,).

教学反思

本节课研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,关键是通过配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式.教学时,可以结合复习一元二次方程的知识,认识两者的相同与不同之处.注意让学生根据图象或利用配方法确定抛物线的对称轴和顶点坐标.

本节课的处理仍然是在教师的引导下,让学生进行观察、归纳、总结,充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于提高学生分析问题、解决问题的能力.