正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教学设计实例

《正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系》

教学设计

【学习目标】

1．学习正多边形的概念，探索正多边形和圆的关系．

2．能进行正多边形的有关计算，了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角等概念，通过等分圆周作正多边形．

【学习重点】

理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系．

【学习难点】

会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. 情景导入

生成问题

一、导入新课

问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？

特点：各边相等，各内角都相等的多边形. 问题2 观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?

问题3 圆具有哪些对称性？

圆既是轴对称图形又是中心对称图形.

二、讲授新课

（一）正多边形的定义与对称性

问题1 什么叫做正多边形？

各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

不是，因为矩形不符合各边相等；

不是，因为菱形不符合各角相等；

注意：正多边形各边相等、各角相等，缺一不可。

问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？

归纳：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形. （二）正多边形与圆的关系

问题引导

问题1 怎样把一个圆进行四等分？

问题2 依次连接各等分点，得到一个什么图形？

问题3 刚才把一个圆进行四等分，依次连接各等分点，得到一个正四边形；你可以从哪方面证明？

①

直径所对圆周角等于90°

②

等弧所对圆周角相等

探究归纳

像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆，这个正多边形也称为这个圆的内接正多边形. （三）正多边形的有关概念及性质

（四）正多边形的有关计算

如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：

①它的中心角等于 度

；

② OC BC (填＞、＜或＝）；

③△OBC是 三角形；

④圆内接正六边形的面积是

△OBC面积的 倍.

⑤圆内接正n边形面积公式:________________________. 三、典例精析

例：有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2). 方法归纳

1.连半径，得中心角；

2.作边心距，构造直角三角形. 四、当堂练习

五、课堂小结

六、课堂小结

本节课以自主探究为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学习的兴趣和能力，在教学过程中，尊重学生的个体差异，使学生在掌握正多边形与圆的关系的基础上，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3．外接圆的半径叫做正多边形的半径．

4．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

5．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

【合作探究】

典例：已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点．依次连接ABCDE形成五边形．

问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论．

答案：五边形ABCDE是正五边形．

︵︵︵︵︵︵︵证明：在⊙O中，∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，BCE＝CDA︵＝3AB，∴∠A＝∠B；同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E，∴五边形ABCDE是正五边形．

知识模块二

正多边形的有关计算

【合作探究】

阅读P106，完成下面例题：

典例：已知正六边形的半径为R，求正六边形的边长、边心距和面积．

解：如图，∵正六边形的中心角为60°，

∴∠AOB＝60°.

∵OA＝OB，∴△OBA是等边三角形．

1∴AB＝OA＝R.过点O作OM⊥AB于M，则AM＝R. 2在Rt△OAM中，OM＝123R＋2R＝R. 2213332∴S正六边形＝6S△OBA＝6×AB·OM＝3R·R＝R. 222知识模块三

正多边形的作法

【合作探究】

阅读教材P107，完成下面的题：

典例：利用手中的工具求作一个边长为3cm的正六边形．

解：方法一：如图1，以3cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于360°÷6＝60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，即可得到正六边形．

方法二：如图2，以3cm为半径作一个⊙O，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取长度等于3cm的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各等分点即可．

交流展示

生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一

正多边形的有关概念

知识模块二

正多边形的有关计算

知识模块三

正多边形的作法

当堂检测

达成目标

【当堂检测】

1．若一个正多边形的每个外角为36°，则这个正多边形的中心角为(

B

) A．18°

B．36°

C．54°

D．72°

2．若正方形的边长为6，则其外接圆半径为32，内切圆半径为3．

3．已知一个圆的半径为5cm，则它的内接正三角形的半径为5cm，边心距为2.5cm．

4．如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为123，求⊙O的半径．

解：连接OB、OD，作OG⊥BD于点G，设OB＝OD＝R，

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠BOD＝2∠BFD＝120°. ∵OG⊥BD，∴∠GOD＝60°，∠ODG＝30°. 113∴OG＝OD＝R，GD＝OD2－OG2＝R，BD＝3R. 222又∵S△FBD＝3S△OBD，S△FAB＝S△OBD，S△FBD＝3S△FAB，S△FAB＝S△OBD，

11∴4××3R×R＝123. 22解得R＝23，即⊙O的半径为23. 【课后检测】见学生用书

课后反思

查漏补缺

1．收获________________________________________________________________________ 2．存在困惑________________________________________________________________________

：：