2.3 抛物线（通用）优秀教案范文

§2.3.1 抛物线及其标准方程

【学情分析】：

学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。

【教学目标】：

（1）知识与技能：

掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。

（2）过程与方法：

在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。

（3）情感、态度与价值观：

培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。

【教学重点】：

抛物线的定义和抛物线的标准方程。

【教学难点】：

（1）抛物线标准方程的推导；

（2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。

【课前准备】：

Powerpoint或投影片

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

设计意图

一、复习引入抛物线的定义

1. 椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）的点的轨迹.

2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）的点的轨迹.

3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是

椭圆

，当e>1 时是双曲线．那么，当e＝1时它是

什么曲线呢？

抛物线的定义：平面内与一个

定点

和一条

定直线l

的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的

焦点

，直线l叫做抛物线的

准线

．

学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。

1

- 1 -

如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．

设错误！未找到引用源。,则焦点F的坐标为（错误！未找到引用源。，0），准线的方程为错误！未找到引用源。．

设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．

由抛物线的定义，抛物线就是点的集合

错误！未找到引用源。．

∵错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。；d=错误！未找到引用源。．

∴错误！未找到引用源。．

化简得：错误！未找到引用源。．

注：错误！未找到引用源。叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的

正半轴，坐标是错误！未找到引用源。，准线方程是错误！二、建立抛物线的标准方程

未找到引用源。．

探究：

抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。

根据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的标准方程。

通过填空，让学生牢固掌握抛物线的标准方程。

1

- 2 -

例1

求适合下列条件的抛物线的标准方程

(1)过点(-3,2)；

(2)焦点在直线x-2y-4=0。

分析：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式。

解：（1）设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),则将点(-3,2)方程得错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。。

∴所求的抛物线方程为错误！未找到引用源。

（2）令ｘ＝０，由方程x-2y-4=0的ｙ=-2.

∴抛物线的焦点为F(0,-2). 设抛物线方程为x2=2py。则由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。, ∴所求的抛物线方程为x2=-8y 或令y=0由x-2y-4=0得x=4, ∴抛物线焦点为Ｆ(4,0) . 设抛物线方程为y2=2px。则由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。, ∴所求的抛物线方程为y2=16x 为了让学生熟

注意：本题是用待定系数法来解的，要注意悉抛物线标准方程解题方法与技巧。

而设置的。

例2 已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程。 (1)y2=6x； (2)y=ax2. 分析：先写成标准方程，再求焦点坐标和准线方程。

解：（1）由抛物线方程得焦点坐标为错误！未找到引用源。,准线方程是错误！未找到引用源。

（2）将抛物线方程化为标准方程错误！未找到引用源。，则焦点坐标为错误！未找到引用源。，准线方程为错误！未找到引用源。

例3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。

分析：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组，解关于m、p的方程组；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p的值。

三、例题讲解

1

- 3 -

解：（方法一）设抛物线方程为y2=-2px (p>0),则焦点错误！未找到引用源。，由题设可得错误！未找到引用源。，解之得错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。.故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为错误！未找到引用源。

（方法二）由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为5，∵M的坐标为（-3，m），∴错误！未找到引用源。,∴p=4，故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为错误！未找到引用源。

1．选择：

⑴若抛物线y2=2px (p<0)上横坐标为-6的点到焦的距离是10, 则焦点到准线的距离是

(B ) A、4

B、8

C、16

D、32 ⑵过抛物线错误！未找到引用源。的焦点作直线交抛物线于错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。,若错误！未找到引用源。,那么错误！未找到引用源。等于

(B)

A.

10

B.

8

C.

6

D.

4 ⑶已知点错误！未找到引用源。F是抛物线错误！未找到引用源。的焦点,M是抛物线上的动点。当错误！未找到引用源。最小时，M点的坐标是

( C ) A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

2．填空：

⑴抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是错误！未找到引用源。；

⑵

抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a>错误！未找到引用源。），则点M到准线的距离是_a_，点M的横坐标是错误！未找到引用源。．

四、巩固练习

四、巩固练习

3．

(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；

围绕抛物线标准方程练习，让学生熟练掌握抛物线的定义和1

- 4 -

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．

标准方程。

线的标准方程是x2=－8y．

4．已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。

分析：根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线。

又由焦点位置可得，所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程。

错误！未找到引用源。 解：如图8-20所示，设点M的坐标为M(x,y),则由已知条件得“点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1”，就是“点M与点F（4，0）的距离等于它到直线L：x+4=0的距离”，根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点M，直线x+4=0为准线的抛物线，且

∴所求的抛物线方程为y2=16x.

1. (浙江)函数y＝ax＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B ) (A) 错误！未找到引用源。 (B)错误！未找到引用源。 (C) 错误！未找到引用源。 (D)1 2. （上海）过抛物线错误！未找到引用源。的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）

(A) 有且仅有一条 (B)有且仅有两条

根据学生情况分层(C) 有无穷多条 (D)不存在

3. 抛物线错误！未找到引用源。上一点错误！未布置作业。

找到引用源。的纵坐标为4，则点错误！未找到引用源。与抛物线焦点的距离为(D ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4 .（江苏卷）抛物线y=4错误！未找到引用源。上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B) (A) 错误！未找到引用源。 (B) 错误！未找到引用源。 (C)错误！未找到引用源。 (D) 0 5．求经过点A（2，－3）的抛物线的标准方程：

2五、课后练习

1

- 5 -

分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况

解：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：

y2＝2px或x2＝－2py．（如图）

点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝错误！未找到引用源。

点A（2，－3）坐标代2入x＝－2py，即4＝6p，得2p＝错误！未找到引用源。

∴所求抛物线的标准方程是

y2＝错误！未找到引用源。x或x2＝－错误！未找到引用源。y

6.点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．

分析：画出示意图2-14可知原条件错误！未找到引用源。M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为2焦点，x＝－4为准线的抛物线．所求方程是y＝16x．

练习与测试：（说明：题目6个（以上）——其中基础题4个，难题2个；每个题目应该附有详细解答）

1．选择题

2（1）已知抛物线方程为y＝ax（a＞0），则其准线方程为（

D ）

(A) 错误！未找到(B) 错误！未找到(C) 错误！未找到(D) 错误！未找到引用源。

引用源。

引用源。

引用源。

（2）抛物线错误！未找到引用源。（m≠0）的焦点坐标是（

B ）

(A) （0，错误！未找到引用源。）或（0，(B) （0，错误！未找到引用源。）

错误！未找到引用源。）

(C) （0，错误！未找到引用源。）或（0，(D) （0，错误！未找到引用源。）

错误！未找到引用源。）

（3）焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程是（

C ）

2222(A) y＝16x或x＝16y

(B) y＝16x或x＝12y

2222(C) x＝－12y或y＝16x

(D) x＝16y或y＝－12x

1

- 6 -

2．根据下列条件写出抛物线的标准方程

（1）过点（－3，4）

（2）过焦点且与x轴垂直的弦长是16 解：（1）错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。

2（2）y＝±16x

3．点M到点（0，8）的距离比它到直线y＝－7的距离大1，求M点的轨迹方程．

2解：x＝32y

224．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C:x+(y+3)=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

分析：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求。

解：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，

则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，

则动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y。

变题：（1）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a>0)外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

（2）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a>0)相切，求动圆圆心M的轨迹方程。

解：（1）当x<0时，y=0；当x≥0时，y2=4ax。

（2）本题可分外切时，当x<0时，y=0；当x≥0时，y2=4ax。内切时当x≥0时，y=0(x≠a);当x<0时，y2=4ax。

1

- 7 -

§2.3.2 抛物线的几何性质（１）

【学情分析】：

由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。

【教学目标】：

（1）知识与技能：

熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。 （2）过程与方法：

重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。 （3）情感、态度与价值观：

培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。

【教学重点】：

熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。

【教学难点】：

熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。 【课前准备】：

Powerpoint或投影片

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

设计意图

1

- 8 -

一、复习引入

1．已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．

解：焦点在x轴负半轴上，错误！未找到引用源。=2，所以所求抛物线的标准方程是错误！未找到引用源。

2.填空：动点M与定点F的距离和它到定直线的距离的比等于e，则当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．

3.复习椭圆、双曲线几何性质的主要内容：

曲

线

椭

圆

双曲线

错误！未找到错误！未找到

方

程

引用源。

引用源。

错误！未找错误！未找到

y y 到引用源。

引用源。

通过离心率的填L

LLL2

空引出抛物线。引起学

Fo o F1 F1 2 x Fx

图

形

生的兴趣。

焦

点

F1(-c,0)F2(c,0) F1(-c,0)F2(c,0)

范

围

|x|≤a,|y|≤b |x|≥a,y∈R

对称性

中心、轴对称 中心、轴对称

顶

点

A1,A2, B1,B2 A1(-a,0),A2(a,0)

离心率

e∈(0,1) e∈(1,+∞)

22准

线

x=±a/c x=±a/c 二、抛物线的几何性质

类比研究归纳抛物线的几何性质：

曲

线

抛

物

线

方

程

y2=2px y2=-2px x2=2py

y

y L

Ly Fo Fx Fo x

图

形

o L

焦

点

F(p/2,0) F(-p/2,0) F(0,p/2)

范

围

x≥0 x≤0 y≥0

对称轴

x轴

x轴

y轴

顶

点

O(0,0) O(0,0) O(0,0)

离心率

e=1 e=1 e=1

准

线

x=-p/2 x=p/2 y=-p/2

渐近线

无

无

无

x2=-2py

y L

o

F(0,-p/2) y≤0 y轴

O(0,0) e=1 y=p/2 无

F

引导学生填写表格。通过对比，让学生掌握抛物线的四种图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程。

1

- 9 -

三、例题讲解

例1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,2错误！未找到引用源。），求这条抛物线的准线方程。

解：⑴若抛物线开口向右，

设抛物线的标准方程为错误！未找到引用源。

∵错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

∴抛物线的标准方程为错误！未找到引用源。

⑵若抛物线开口向上，

设抛物线的标准方程为错误！未找到引用源。

∵错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

∴抛物线的标准方程为错误！未找到引用源。

例2

汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？

让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。

分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，

轴垂直于灯口直径．

抛物线的标准方程为错误！未找到引用源。，由已知条件三、例题讲解

可得点

的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：

错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

所以所求抛物线的标准方程为错误！未找到引用源。，焦点坐标是

. 运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。

1

- 10 -

例3 过抛物线错误！未找到引用源。的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，

求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．

分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．

证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线错误！未找到引用源。引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则

｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜

∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜

所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，

因而圆E和准线错误！未找到引y用源。相切．

CB

HDOEFAx四、巩固练习

1．过抛物线错误！未找到引用源。的焦点作直线交抛物线于分层训练，让学生错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。两点，如果错牢牢掌握抛物线的几误！未找到引用源。，那么错误！未找到引用源。=（

B ）

何性质。

（A）10 （B）8 （C）6 （D）4

2．已知错误！未找到引用源。为抛物线错误！未找到引用源。

上一动点，错误！未找到引用源。为抛物线的焦点，定点错误！

未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的最小值为（

B ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3．过抛物线错误！未找到引用源。的焦点错误！未找到引用

源。作直线交抛物线于错误！未找到引用源。、错误！未找到

引用源。两点，若线段错误！未找到引用源。、错误！未找到

引用源。的长分别是错误！未找到引用源。、错误！未找到引

用源。，则错误！未找到引用源。=（ C ）

（A）错误！未找到引用源。 （B）错误！未找到引用源。

（C）错误！未找到引用源。 （D）错误！未找到引用源。

4．过抛物线错误！未找到引用源。焦点错误！未找到引用源。

的直线错误！未找到引用源。它交于错误！未找到引用源。、

错误！未找到引用源。两点，则弦错误！未找到引用源。的中

点的轨迹方程是错误！未找到引用源。

5.定长为错误！未找到引用源。的线段错误！未找到引用源。

的端点错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。在抛物

线错误！未找到引用源。上移动，求错误！未找到引用源。中

点错误！未找到引用源。到错误！未找到引用源。轴距离的最小值，并求出此时错误！未找到引用源。中点错误！未找到引

用源。的坐标

（答案：错误！未找到引用源。 , M到错误！未找到引用源。

轴距离的最小值为错误！未找到引用源。）

6.

已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点

M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准1

- 11 -

线方

因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得p=4．

因此，所求抛物线方程为y2=-8x．

又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．

解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由题意

在抛物线上且|MF|=5，故

由学生演板．

1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．

（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．

（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．

（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．

2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于

3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．

课后练习注意分

层训练，让学生牢牢掌4．以椭圆错误！未找到引用源。的右焦点，F为焦点，以坐标握抛物线的几何性质。

原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．

5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？

6．已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,其上一点M(2,m)到焦点的距离等于3,求抛物线方程及m值。

习题答案：

2221．（1）y＝±32x

（2）x＝8y

（3）x＝－8y

22．90°

3．x＝±16 y

4．错误！未找到引用五、课后练习

1

- 12 -

源。

5．错误！未找到引用源。米

6．y2=4x,

m=错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。

练习与测试：

1.求适合下列条件的抛物线的方程：

（1）顶点在原点，焦点为（0，5）；

（2）对称轴为x轴，顶点在原点，且过点（-3，4）。

2.若P（x0，y0）是抛物线y2=-32x上一点，F为抛物线的焦点，则PF=（

）。

（A）x0+8

（B）

x0 -8

（C）8- x0

（D）

x0 +16 3. 一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，求水面宽度。

4.

已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点错误！未找到引用源。，求它的标准方程．

解：由题意，可设抛物线方程为错误！未找到引用源。，因为它过点错误！未找到引用源。，

所以 错误！未找到引用源。，即

错误！未找到引用源。

因此，所求的抛物线方程为错误！未找到引用源。．

5.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．

分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．

设抛物线的标准方程是错误！未找到引用源。 (p＞0)．

由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得错误！未找到引用源。，

即 错误！未找到引用源。

所求的抛物线标准方程为错误！未找到引用源。．

§2.3.２ 抛物线的几何性质（２）

【学情分析】：

由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。

【教学目标】：

（1）知识与技能：

熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。

（2）过程与方法：

重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。 （3）情感、态度与价值观：

培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求1

- 13 -

知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。

【教学重点】：

抛物线的几何性质及其运用。

【教学难点】：

抛物线几何性质的运用。 【课前准备】：

Powerpoint或投影片

【教学过程设计】：

教学环节

回顾抛物线的几何性质：

曲

线

方

程

图

形

教学活动

线

抛

物y2=2px L

设计意图

y2=-2px

y L

F

x2=2py

y F

x2=-2py

y L

o y o F

x

一、复习引入

焦

点

范

围

对称轴

顶

点

离心率

F(p/2,0) x≥0 x轴

O(0,0) e=1 x=-p/2 无

F(-p/2,0) x≤0 x轴

O(0,0) e=1 x=p/2 无

o x

准

线

渐近线

F(0,p/2) L

o

F(0,-p/2) y≤0 y轴

O(0,0) e=1 y=p/2 无

F

y≥0 y轴

O(0,0) e=1 y=-p/2 无

将基本公式用填空的形式巩固。

设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、二、知识准备

B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：

错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。

例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线错误！未找到引用源。上，求这个正三角形的边长．

分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．

解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，则 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

y又|OA|＝|OB|，所以

错误！未找到引用源。

A二、例题讲解

即 错误！未找到引用源。

xO错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

B∵

错误！未找到引用源。，∴

错误！未找到引用源。．

由此可得错误！未找到引用源。，即线段AB关于x轴对称．

因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以

错误！未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。，

错误！未找到引用源。

1

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例2．过抛物线y＝错误！未找到引用源。的焦点作倾斜角为α的直线l与抛物线交于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α．

解：抛物线标准方程为x2＝－4y，则焦点F（0,-1）

⑴

当α＝90°时，则直线l：x＝0（不合题意，舍去）

⑵

当α≠90°时，设k＝tanα，则直线l：y+1＝kx；即y=kx-1．与x2＝－4y联立，消去y得：x2＋4kx-4=0

则x1+x2= －4k；

x1x2= －4；

∴错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。＝4（1+k2）＝8 ∴k＝±1 ∴α＝45°或135°

圆锥曲线的弦长求法

例3．已知抛物线方程为错误！未找到引用源。，直线错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．

解：设错误！未找到引用源。与抛物线交于错误！未找到引用源。

由弦长公式

二、例题讲解

|AB|=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=3

则有

错误！未找到引用源。

圆锥曲线的由错误！未找到引用源。

中点弦问题

错误！未找到引用源。

从而错误！未找到引用源。由于p>0，解得

错误！未找到引用源。

1．若正三角形一顶点在原点，另外两点在抛物线y2=4x上，求此正三角形的边长。

（答案：边长为8错误！未找到引用源。）

2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线错误！未找到引用源。上，求正三角形外接圆的方程

分析：依题意可知圆心在错误！未找到引用源。轴上，且过原点，

故可设圆的方程为：错误！未找到引用源。，

又∵

圆过点错误！未找到引用源。， ∴

所求圆的方程为错误！未找到引用源。

三、巩固练习

3．已知抛物线错误！未找到引用源。,过点(4, 1)引一弦,使它恰在这点被平分,则此弦所在直线方程为

错误！未找到引用源。

解析: 设直线与抛物线交点为

错误！未找到引用源。则错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。,

错误！未找到引用源。

4．已知直线错误！未找到引用源。与抛物线错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。相交于错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。两点，若错误！未找到引用源。，（错误！未找到引用源。为原点）且错误！未找到引用源。，求抛物线的方程

（答案：错误！未找到引用源。）

1

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5．顶点在坐标原点，焦点在错误！未找到引用源。轴上的抛物线被直线错误！未找到引用源。截得的弦长为错误！未找到引用源。，求抛物线的方程

（答案：错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。）

1．斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．

解：如图，由抛物线的标准方程可知，

抛物线焦点的坐标为F(1，0)，

所以直线AB的方程为y=x-1①

与y2=4x②联立，解得：

将x1、x2的值代入方程①中，得

即A、B的坐标分别为

错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

2．已知抛物线错误！未找到引用源。与直线错误！未找到引用源。相交于错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。两点，以弦长错误！未找到引用源。为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程

（答案：错误！未找到引用源。）

四、课后练习

3. 已知错误！未找到引用源。的三个顶点是圆错误！未找到引用源。与抛物线错误！未找到引用源。的交点，且错误！未找到引用源。的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程

（答案：错误！未找到引用源。）

4．已知直角错误！未找到引用源。的直角顶点错误！未找到引用源。为原点，错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。在抛物线错误！未找到引用源。上，（1）分别求错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线错误！未找到引用源。是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求错误！未找到引用源。点在线段错误！未找到引用源。上的射影错误！未找到引用源。的轨迹方程

答案：（1）错误！未找到引用源。；

错误！未找到引用源。

；

（2）直线错误！未找到引用源。过定点错误！未找到引用源。

（3）点错误！未找到引用源。的轨迹方程为错误！未找到引用源。

1

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5．已知直角错误！未找到引用源。的直角顶点错误！未找到引用源。为原点，错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。在抛物线错误！未找到引用源。上，原点在直线错误！未找到引用源。上的射影为错误！未找到引用源。，求抛物线的方程（答案：错误！未找到引用源。）

练习与测试：

1．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（

）

222(A) x＝8y (B) x＝4y (C) x＝2y (D) 错误！未找到引用源。

22．抛物线y＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，错误！未找到引用源。） (D) （1，±错误！未找到引用源。）

3．

直线错误！未找到引用源。过抛物线错误！未找到引用源。的焦点,并且与错误！未找到引用源。轴垂直,若错误！未找到引用源。被抛物线截得的线段长为4,则错误！未找到引用源。

(

)

A.

4

B.

2

C.

错误！未找到引用源。

D.

错误！未找到引用源。

4．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为

25．抛物线y＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是

6．以双曲线错误！未找到引用源。的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求△OAB的面积．

7．已知抛物线错误！未找到引用源。与直线错误！未找到引用源。相交于A、B

两点

, ①求证;错误！未找到引用源。;

②当错误！未找到引用源。的面积等于错误！未找到引用源。时,求错误！未找到引用源。的值.

测试题答案：

21．A 2．D 3．A

4．x＝±8y 5．错误！未找到引用源。 6．错误！未找到引用源。

7．解析(证明):设

错误！未找到引用源。; 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。,由A,N,B共线

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。, 又错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。--------------------------------------------------------------③

错误！未找到引用源。

②

错误！未找到引用源。

由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

1

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