3.1.2 空间向量的数乘运算ppt课件课堂实录

《空间向量的数乘运算》教学设计

［教学内容解析］

空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角.空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.本节课是空间向量教学的第二节课，在本章的教学中有着十分重要的承接作用，一方面，是将向量工具在空间背景下的进一步拓展和推广，另一方面，本节课仍是从向量角度即形的角度进行教学，却为后续的空间向量基本定理与之后从数的角度来学习空间向量打下了基础. ［学生学情分析］

1.

知识储备

学生在必修四中就已经学***面向量及其运算，空间向量的学习是为引导学生实现对向量本质的认识，从而实现从平面到空间的突破. 2．心理储备

学生在学习了空间向量与其加减法后，与之前相比，对向量的认识有了很大的提升，也会使得学生产生能否进一步将平面向量的其他的运算在空间向量中类比推广的困惑，正是这种心理上的困惑和需求，这节课的学习将更能让学生对数学知识的发展与联系有足够的认识，以及对知识的探求有更大的欲望. ［教学目标设置］

1、知识与技能目标:学生能正确掌握空间向量的数乘运算；能根据向量关系确定三点共线；能根据向量关系确定三向量共面或四点共面. 2、方法与过程目标:学生能通过自主探究,合作交流，体会类比等数学思想方法,提升类比、分析以及研究问题的能力. 3、情感态度与价值观: 学生在自主探究、合作交流的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，提高对数学学习的兴趣与信心.并能进一步体会向量中所蕴含的哲学原理：两点论与重点论辩证统一、事物是普遍联系的、事物是变化发展的、透过现象认识本质. ［教学重点］

共面向量的定义与在四点共面问题证明中的应用. ［教学难点］

共线向量到共面向量的类比构架. ［教学策略分析］

课堂设计以点的数目为隐藏主线，以问题链的方式，通过问题引导学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，使得学生在平面向量及其运算基础上，自主探究空间向量的数乘运算的生成过程及应用，从而能更加深入的理解向量的本质与在空间中的适用性，实现了在探索中发现数学本质，体会数学建构的乐趣. ［教学过程］

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一、开门见山，直入课题

师：在前一节课上，我们通过类比，发现空间向量的本质与平面向量的本质没有区别，都是有大小有方向的有向线段.并且平面向量的加减法也适用于空间向量.那么今天，我们就一起来进一步探究一下平面向量的数乘运算是否也能类比推广到空间中呢？

二、回顾旧知，类比迁移

问题1：什么是平面向量的数乘运算. 一个任意实数与一个向量a的乘积，结果a仍旧是一个向量. 设计意图：温故知新，为新定义寻找知识的生成点. 师生活动：教师提出问题，学生回答．

问题2：a与a的模长和方向分别有什么关系. aa，0,同向；0,反向；0,方向任意.两向量平行. 设计意图：温故知新，为新定义寻找知识的生成点. 师生活动：教师提出问题，学生回答．

2.探究空间向量的数乘运算

问题3：在空间向量中存在上述关系么？如何用向量的本质解释. 设计意图：从根本概念上认识空间向量，进一步得到空间向量的数乘运算

师生活动：学生口述理由，教师补充整理. 问题4.1：若设ba，那么在空间中b与a各自所对应的有向线段所在的直线的位置关系又是怎样的呢？

问题4.2：若在空间中b与a各自所对应的有向线段所在的直线既不平行也不重合，b与a会平行么？

设计意图：明确当我们说b与a共线时，表示两者的两条有向线段既可能是同一条直线，也可能是平行直线；当我们说a//b时，也具有同样的意义.并整理得到直线方向向量的概念.

师生活动：学生探讨概括得出共线向量的定义，教师整理. 问题5：如何在空间中刻画一条直线？

设计意图：

通过确定一点＋直线方向，深化方向向量的概念，并进一步衔接共线向量

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师生活动：学生口答，教师整理补充

生：两点确定一条直线

师：在上一章节解析几何的学习中我们用两定点来刻画一条直线，也用一点+方向来刻画一条直线，而这个方向我们用的是倾斜角和斜率.现在在空间中倾斜角和斜率也可以用么？

生：不能了，难以确定. 师：那有什么可以帮助我们刻画直线方向呢？

生：直线的方向向量. 问题5.1.若直线l是空间中过点A的一条直线，l的方向向量是a,若P是l上的一个动点，判断AP与a的位置关系. 设计意图:从数乘角度进一步深化共线向量与方向向量

师生活动：学生思考、讨论，师生交流. 问题5.2.

若在空间中又取一点B，如何用向量的办法判定点B在不在直线AP上呢？

问题5.3.若在空间中任取一点O，则OP= . 设计意图:整理出空间中直线的向量表达式

师生活动：学生思考、讨论，师生交流. 问题6.1：若B不在直线AP上，此时OP与AB共面么？

设计意图：自然过渡到共面向量的探讨. 师生活动：学生思考、讨论，师生交流. 问题6.2：空间中任意三个向量OP,OA,OB也一定共面么？

设计意图：运用类比的方法讨论，总结共面向量的定义. 师生活动：学生探讨概括得出共面向量的定义，教师整理. 问题6.3：若在空间中又取一点C，且AB,AC不共线,如何用向量的方法判定点C在不在平面APB上呢？

设计意图：运用类比的方法讨论，总结三向量共面或四点共面中平面向量基本定理的应用. 师生活动：学生思考、讨论，师生交流. 问题7：类比空间中确定一条直线，试探究如何在空间中确定一个平面. 设计意图：深化对类比方法的应用与思考. 师生活动：学生思考、讨论，师生交流. 三、定义应用，巩固提高

1.非零向量e1,e2不共线，使ke1e2与e1ke2共线的k= . 设计意图：通过练习学习加深对定义的理解，认识到根据向量共线定义可以解决简单的求参数问题. 师生活动：先通过学生思考，让学生回答解题的步骤，然后完成解题过程.

2.在“（）”中填上适当的数，使M与A,B,C三点共面

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1).OM2OAOB（）OC 2)MAMBMD（）CD

设计意图：通过练习进一步学习加深对共面向量的理解

师生活动：先通过学生思考，让学生回答解题的步骤，然后完成解题过程.

3.如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD，在四条射线上分别OEOFOGOH取点E,F,G,H，并且使

OAOBOCODk，求证E,F,G,H

四点共面. 设计意图：通过练习进一步学习加深对共面向量的理解

师生活动：先通过学生思考，让学生回答解题的步骤，然后完成解题过程. 四、归纳总结，提炼提升

1、空间向量的数乘运算. 2、共线向量的定义与应用. 3、共面向量的定义与应用. 4、类比法的应用与实践经验. 5、哲学思想的提炼总结. 设计意图：通过学生总结、教师补充与提炼，深化内容，这既是对整节课堂教学的回顾，又能对教学效果及时反馈评价.

五、实践作业，深化巩固

1、看书并完成课后练习. 2、思考：

1).APnAB,当n1时,P与B共点；当nR时，AP，AB共线; 2).APxAByAC,当xy1时,P,B,C共点；当x,yR时，AP，AB,AC共面; 试类比1）、2）两结论将3）补充完整

3）APxAByACzAD,当 ；当x,y,zR时, . 设计意图:通过作业给学生再次实践的机会，也可以让教师根据作业情况对学生新的知识的落实作出判断.思考题给学生以新的挑战，从而引出空间向量基本定理的内容.

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