2.2.1 椭圆的标准方程ppt课件教学实录

代数是书写的几何，几何是图形的代数

——椭圆的标准方程（第二课时）教学设计

宁波市正始中学

邓慧静

一、教学目标

【知识与技能】掌握椭圆的定义及推导椭圆的标准方程；理解并掌握椭圆标准方程的推导过程中隐含的几何意义，了解并简述椭圆的第一定义，第二定义，第三定义；能够实现数与形之间的转化.

【过程与方法】培养学生的观察归纳能力、探索发现能力以及合作学习能力；提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力，同时体会运用数形结合思想解决问题的能力.

【情感态度与价值观】培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题；通过学生的参与，调动学生学习数学的积极性，激发学生的学习兴趣；通过对数学知识历史发展脉络的认知与揭示，深化对教学内容本质的理解；让学生感悟数学的科学价值、文化价值、应用价值和审美价值，发展学生的数学素养. 二、学情分析与重难点

授课班级为区内二类学校程度较好的学生.学生在学习本节课之前已经学习了椭圆的定义，图形表示并且能够根据定义推导出椭圆的标准方程，同时能够完成简单的数与形之间的转化.但是学生不了解椭圆为什么称之为圆锥曲线，椭圆经历了怎样的过程由原来的截面定理演变为距离定义.同时学生对于椭圆标准方程的推导过程每一条等式背后所隐含的几何意义并未探究与发现. 教学重点：探究发现椭圆标准方程推导过程中隐含的几何意义. 教学难点：数与形之间的相互转化. 三、教学策略分析

本节课采用探究式、启发式的教学方法.引导学生主动参与课堂，积极参与活动体验，小组合作自主探究，形成师生和谐互动的教学氛围.以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习.充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点.让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去发现问题、分析问题、讨论问题并最终解决问题. 板书设计如下图：

四、教学实录

1.史料引入，感受文化

微课视频展示圆锥曲线发展历史. 从数学史的角度看，圆锥曲线是在经历古希腊的古典时期、亚历山大前期、亚历山大后期到

16 世纪以后的整个历史时期而不断形成、发展和完善起来的.它的起源与发展曲折离奇，充满情趣.大自然中的任一段树干或一节竹子都可以看作数学中的圆柱体，当人们锯树或竹子时，会发现锯得情况不同，形成的截面形状就有所差异（锯正则圆，锯歪则椭圆）；有人还会进一步认识到树干其实是底粗顶细的，贴切一点讲就是一种圆锥体，这就是说圆锥体的截面是一个圆或椭圆；后来，人们从圆锥体的截面中，又找到了另外两种圆锥截线，这也许是人类对圆锥曲线最早的认识. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线.用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支. 公元前

3 世纪，在产生了具有完整体系的欧几里得（Euclid，公元前450-公元前374年）的《几何原本》的故乡，一批古希腊数学家从生活中的例子找到圆锥截线的线索，进而探讨它们的几何性质，奠定了后代研究圆锥曲线的基石，最突出的成果是数学家阿波罗尼斯（Apollonuius，公元前262-公元前190年）的名著《圆锥曲线论》，它几乎将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽.但在随后的

1000多年里，人们对圆锥曲线的研究基本没有任何新的进展. 直到德国天文学家开普勒（Kepler，1571-1630）继承了哥白尼的日心说，在研究行星运动时，发现了行星运动的三大定律，知道太阳系中每颗行星都沿着各自的椭圆轨道环绕太阳运行，而太阳则处在椭圆的一个焦点中；意大利物理学家伽利略（Galilei，1564-1642）在研

究抛物运动时得出下落距离和时间成平方关系，其轨迹为抛物线.这些发现让“圆锥曲线”再度受到重视. 1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte，1545~1607）将椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹.从而改变了过去对圆锥曲线的定义. 法国数学家笛卡儿（René

Descartes，1596-1650）和费马（Pierre de Fermat，1601-1665）创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼斯，又不同于投射和截影法，而是朝着解析法的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的方程，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一，实现了数与形之间的转化. 【设计意图】圆锥曲线是高中平面解析几何的重要内容，是学生感悟数形结合这一重要数学思想的重要载体.从数学史引入，感受圆锥曲线如何从截面定义转变为距离定义，把直观的几何图形、位置关系与抽象的数学语言、数量关系结合起来，借助于数的精确性来阐明形的一些属性，抽象思维与形象思维的碰撞、融合实现了从形到数的转化.同时激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性. 2.回顾旧知，查漏补缺

师：在上节课中，我们已经学习了圆锥曲线之一的椭圆，大家还记得它的定义吗？

生齐声回答：平面上到两个定点之间的距离为定值（大于两定点之间距离）的点的轨迹. 师：根据椭圆的定义，我们通过两个图钉和一根绳子画出了椭圆的图像.椭圆上的点M满足到两个定点F1,F2的距离为定值，即MF1MF22a.随后我们建立了合适的坐标系，x2y2222推导出了焦点在x轴上的椭圆标准方程为221(bac)，将椭圆从几何图形转ab化为数学方程，实现了从形转化为数的过程. 定义

平面上到两个定点之间的距离之和为定值的点的轨迹

图形

表达式

MF1MF22a

标准方程

x2y221(ab0)

2ab师：大家还记得我们是怎样推导出椭圆的标准方程吗？让我们简单回顾一下. 以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.设点M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c，则焦点F1,F2的坐标分别为(c,0),(c,0)，设M与F1,F2的距离之和为2a，即MF1MF22a，根据两点之间的距离公式得到：

(xc)2y2(xc)2y22a先将一个根式移项得

(1)

(xc)2y22a(xc)2y2两边平方并化简为：

(2)

a2cxa(xc)2y2两边再平方，整理得：

(3)

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)222222(4)

x2y2两边同除以a(ac)，再令bac，得到221(ab0). ab师：在化简过程中每个等式所表示的图形保持一致性，都代表同一个椭圆.为什么这些式子都表示椭圆呢？请同学们分成6个小组，从数和形的角度分别探究（3）、（4）式. 【设计意图】数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”学生在学习圆锥曲线的过程中，常常忽视将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来.而通过“以形助数”或“以数解形”的方法，将抽象思维与形象思维结合起来，可以使抽象问题具体化，复杂问题简单化，从而加深对于数学概念的理解. 3.自主探究，思维风暴

生分组讨论，师巡视，了解学生的想法，收集学生的发现结果并投影到屏幕上. 展示生1的发现：

cx.(xc)2y2表ac示椭圆上点P(x,y)到右焦点F2(c,0)的距离，等于a减去P点的横坐标乘以. a生1解释：将（3）式两边同除以a，得到(xc)ya22师追问：你得到的是椭圆上点P(x,y)到右焦点的距离，那么你可以得到椭圆上点P(x,y)到左焦点的距离吗？

生1思考了一会之后回答：若将c用c来代替，(xc)ya22cx就变成acx.其中(x+c)2y2表示椭圆上点P(x,y)到左焦点F1(c,0)的距ac离，等于a加上P点的横坐标乘以. acc师总结：我们将PF1a+x，PF2ax称为焦半径公式，以后我们计算椭圆上aa(x+c)2y2a+的点到焦点的距离就可以转化为关于椭圆上的点的横坐标x的一次函数，不需要用两点之间的距离公式，实现了降维. 师继续追问：椭圆上任意一点P(x,y)到左焦点F1(c,0)的距离的最大值和最小值分别是多少？取得最值时点P处于什么位置？

生1答：根据焦半径公式，|PF1|是关于x的一次函数，又因为x[a,a]，x前面的系数为c，即|PF1|是单调递减的.所以当点P在左顶点时，|PF1|取得最小值，最小值为aac，当点P在右顶点时，|PF1|取得最大值，最大值为ac. 师总结：相对于左焦点，我们将左顶点称为近日点，右顶点称为远日点.这是天文学与圆锥曲线相结合的一次应用.

接着投影展示生2的探究结果.

ca2x除下生2：首先我也先将等式两边同除以a，并将x前面的系数提出来，再将ac来之后得到(xc)2y2c22(xc)y.其中表示椭圆上点P(x,y)到右焦点2aaxcca2a2x表示P(x,y)到直线x的距离，这两个距离之比为定值. 的距离，F2(c,0)acca2师总结：平面内到定点F2(c,0)的距离和到定直线x（F2不在l上）的距离之比为c常数c的点的轨迹是椭圆，这是椭圆的第二定义.同时补充椭圆第二定义的数学史. a公元前3世纪，欧几里得（Euclid，公元前330-前275年）在《几何原本》中给出了圆锥曲线的统一定义：即平面内一点F和一定直线AB，从平面内动点M向AB引垂线，垂足为C，若MF为定值，则动点轨迹为圆锥曲线，但他并未证明. MC到了公元

4 世纪，著名数学家帕波斯（Pappus，公元

300 年—公元

350 年）在其名著《数学汇编》中研究了圆锥曲线及其性质，他最先提出用焦点和准线来定义圆锥曲线：圆锥曲线是一动点到一定点和一定直线距离的比是常数的轨迹，并加以证明，当MF的比值MC小于1时，M点的轨迹为椭圆；比值等于1时为抛物线；比值大于1时为双曲线. 生恍然大悟，对于椭圆的定义和性质有了新的认识，同时为后文学习双曲线和抛物线奠定了基础.

然后投影展示生3的探究结果.

生3：我观察到左右两边都有公因式ac，提取公因式后，（4）式就可以化简为22(a2c2)x2a2(a2c2)a2y2，再把常数放在一边，含x,y的项放在另外一边，再利yyyyc2a2用平方差公式最后得到了.而表示椭圆上点P(x,y)到2xaxaxaxaac2a2(a,0)点和(a,0)点的斜率之积为常数. a2师追问：这个常数的取值范围是？

c2a2(1,0). 生3：因为在椭圆中ac，所以2ac2a2师总结：平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(a,0)的斜率乘积等于常数的点a2的轨迹是椭圆.该定义称为椭圆的第三定义. 最后，投影展示生4的探究结果：

生4：首先我观察到（4）是可以看成两个平方相加得到另一个数的平方.若我进行换元，xa2c2x22222令，那么（4）式就可以化简为xya(ac).这是一个圆心在原yay点，半径为aa2c2的圆的标准方程. 师追问：你能不能举个例子？

生4：如果圆上的任意一点P(x,y)中x不变，y变为原来的一半，那么P的轨迹就是一个椭圆了. 师总结：椭圆可以由圆方程上每一点横坐标和纵坐标缩短（或伸长）所得的. 学生恍然大悟，对椭圆的定义和性质又有了新的理解. 2222师补充性质：对于(xc)y2a(xc)y大家能够画出它所代表的几何图形吗？

学生之间相互讨论，只能看出椭圆上的点P(x,y)到F1(c,0)和F2(c,0)的距离之和为定值2a. 师提示：若我们以F1(c,0)为圆心，2a为半径做一个圆，在圆上任取一点P，做出圆内定点F2与P的中垂线l，l与PF1相交于Q，则Q满足什么条件？Q点的轨迹是？

生5回答：因为中垂线上点Q到两个端点P和F2的距离相等，而QF1QPr，所以QF1QF2r，所以Q点的轨迹是一个椭圆.

师追问：平面上到两定点距离之和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗？

生5：不一定，但是F2是在圆内的，所以rF1F2，满足椭圆的定义，所以Q点的轨迹是一个椭圆. 师肯定学生的想法并进行了总结：椭圆是以F1为圆心，半径为2a的圆上动点P，与圆内定点F2连线段PF2的中垂线与线段PF1交点Q的轨迹. 【设计意图】由椭圆标准方程的推导过程中各个等式进行等价变换而产生了形式不同的数学式子，不同的等式具有不同的数学内涵，由此滋生出不同的几何意义，但它们都代表同一个图形——椭圆.在学生的小组合作的过程中，通过探究，发现，归纳，总结，提升等方式不仅仅得到了椭圆的方程，还新增了对椭圆定义的不同描述，使得单调、繁琐的运算过程变得生动有趣而富有活力，为之后椭圆几何性质的学习奠定了坚实的基础.同时将椭圆标准方程推导过程中的“数”与“形”建立起对应关系，让学生享受到数形结合的便捷与乐趣，促进了学生形象思维和抽象思维的和谐发展，同时让学生深刻地感受到，形式在改变，但本质是不变的科学道理. 4.课堂练习，小试牛刀

例1：如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式

x2(y3)2x2(y3)210，

点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程. 解：M(x,y)到(0,3)和(0,3)的距离之和为定值10（大于两定点间距离6），所以点y2x2M的轨迹是以(0,3)和(0,3)为焦点，2a10的椭圆，标准方程为1. 2516例2：点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x254的距离之比是常数，求点M的轨迹. 45(x4)2y24，将解：设点M(x,y)，则点M满足255x4

x2y21. 该式两边平方并化简得到9x25y225，即25922例3：如图，设A,B点的坐标分别为(5,0)，(5,0)，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是迹方程. 解：设点M(x,y)，则点M满足4，求点M的轨9yy4(x5)，x5x59x2y21(x5).

化简为100259例4：如图，在圆x2y24上取一点P，过点P做x轴的垂线段PD，1D为垂足.当点P在圆上运动时，满足MDPD，M的轨迹是什么？为3什么？

解：设点M(x,y)，点P(x0,y0)，则xx0,y22y0，因为点P在圆3x2y21.所以点Mxy4上，所以x0y04，将x0x,y03y带入，得到44922的轨迹为椭圆.

【设计意图】例题的设计紧扣学生的探究与发现，有利于加强学生对于椭圆定义与标准方程的理解、巩固和应用，让学生学会将“数”与“形”有机地结合起来，同时优化知识结构，有利于增强数式与图形的认知联结，并能选择合适的方式实现数与形的相互转化，从而求得椭圆的标准方程，培养学生的数形结合的思想，方程的思想，函数的思想. 5.课堂小结，总结反思

师生共同总结本节课的所学内容：

（1）椭圆第一、二、三定义及其图像表示；

（2）椭圆标准方程推导过程中隐含的几何意义；

（3）数与形之间的转化. 【设计意图】让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础.

五、教学反思

“数”和“形”是数学中的两个最基本的概念，它们具有一一对应的关系，并在一定条件下可以相互转化、相互解释、相互表征.而数形结合思想是把“数”和“形”结合起来思考问题并解决问题的一种思想方法.主要包括两种情形：一是借助于“数”的精（准）确性来弥补“形”的粗糙性，二是借助于“形”的直观性来弥补“数”的抽象性.数形结合就是把抽象的“数”的结构、关系、变化等与直观的“形”结合起来，通过“数化形”（即抽象问题形象化）或“形化数”（即几何图形精确化），将“抽象思维”与“形象思维”结合起来，以达到解决数学问题，培养核心素养的目的. （1）数形结合，培养学生的直观想象素养

解析几何的核心方法是用代数的方法研究几何问题，在解题过程中，首先要将文字信息、图形条件进行转换，通过代数语言描述几何要素及其关系，将已知的几何量（条件）表示成代数式，然后进行适当的代数运算得出代数结果，最后通过分析代数结果的几何含义解决几何问题.在整个过程中经历了文字语言、图形语言和符号语言之间的多次转换.在学习本节课之前，学生已经学习了椭圆的定义，并且根据椭圆的定义画出图形.在图形上建立合适的坐标系后，推导出椭圆的标准方程，实现了从图形（形）到方程（数）的转化. 但解析几何并不是单纯是由“形”到“数”的单向联结，它还有一个任务，即引导学生x2y2将代数的结果用几何进行解释，重视由“数”到“形”的转换．虽然椭圆标准方程221ab形式对称美观，却不能够体现椭圆的定义，到平面上两个定点的距离之和为定值的特点.因而再从推导过程入手，探求各代数式的几何意义.可有时代数式的结构缺乏明显几何的特征，几何意义被“杂乱”的代数所掩饰，抽象且难以理解.这时就需要教师从旁辅助，耐心引导，将复杂的代数作适当的调整，使几何意义浮出水面．让学生积累由数到形，由形到数的活动经验，提高数形结合的敏感度，增强运用数形结合的自觉性，感受到数学学习的快乐，享受数形结合在理解概念和解决问题中所带来的便捷，培养几何直观的数学核心素养．

（2）以生为本，培养学生探索创新的能力

学生是学习的主体，教学设计应以促进学生的发展作为出发点和归宿.本节课以小组讨论，代表展示发言的形式，让学生自主合作、探究发现，从“数”和“形”这两个角度去探索椭圆标准方程推导过程中所具有的几何意义.不同的小组有不同的发现和结论，在鼓励学生大胆表达自己的想法的同时，也在旁引导怎样的化简能够更有利于从复杂的代数式中发现几何意义.在课堂中既要发挥教师的主导作用，也要充分调动学生的主动性和积极性.另外，

在小组展示发言之后的小结和追问中，引出椭圆的第二定义和第三定义，并得到椭圆的焦半径公式以及椭圆是由圆压缩或伸长得到的结论，既开拓了学生的视野，让学生对椭圆有更加深入的认识，又让学生体会到运用图形想象、思考问题的作用，感受数与形结合运用的价值，树立“用图形”解决问题的意识. 而在小组讨论的过程中，学生的观察能力、假设与推理能力、口头表达能力、总结与归纳能力、人际交往能力等都得到了提高.在教师的引领下，学生不断发现并提出问题，并运用图形进行思考，形成自己对问题的想法，充分表达想法，倾听同伴的意见、捕捉冲突点，引发思维的碰撞，主动去探索“数”与“形”关系.以生为本，让每一位学生从课堂中收获知识，感受数学学习的乐趣，积累与同伴之间的交流与合作的经验，充分发挥学生的主观能动性，展示自己的个性，完善独立的人格，体验成功的快乐，提高探索、发现、创新的能力. （3）感受文化，提高学生的人文素养

张奠宙教授在《关于数学史和数学文化》一文中强调：“在数学教学中运用数学史知识时，不能简单地、就事论事地介绍史实，而应该着重揭示含于历史进程中的数学文化价值，营造数学的文化意境，提高数学的文化品位”．在本节课的教学中，适当地介绍圆锥曲线和椭圆第二定义的发展历程，使学生不仅能够了解椭圆的产生和发展的过程，还能够理解椭圆为什么称为圆锥曲线以及圆锥曲线在生活中是一种十分常见的图形.在教学中引入数学史，不仅能够增加学生的数学史知识，帮助他们更好地理解与掌握椭圆，还能可以激发学生的学习兴趣，提高学生的人文素养，而且可以加强数学与其他学科的联系，让数学变得更亲和、更令人愉悦、更激动人心，让师生感受到数学文化的多元性．

总之，在数学学习的过程中运用数形结合思想，可以有效加深学生对数学知识的理解，不仅开拓了解题的思路，提高解题效率，还有助于培养学生的直观形象思维和抽象逻辑思维，是培养直观想象和数学抽象核心素养的有效途径.