习题3.2教案2

空间向量与垂直关系

●学情分析

学生已经学习了用几何法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直，学习了空间向量的相关运算，以及求直线的方向向量与平面的法向量，在此基础上学习利用空间向量解决空间中的垂直关系。

●三维目标

1.知识与技能

能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题。

2．过程与方法

通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程。

3．情感、态度与价值观

引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养学生独立思考与小组合作意识和创新精神。在让学生上台展示的过程中，培养学生的自信心，语言组织能力以及遵纪守法的法律意识。在轻松愉悦的课堂氛围中，有利于陶冶学生的情操，有利于学生心理健康。

●重点难点

重点：用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．

难点：用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题．

本节课重点和难点在于用向量证明垂直关系，应利用探究式教学以及多媒体帮助分散难点，强化重点．

●教学建议

根据教学目标，应有一个让学生参与实践——探索发现——总结归纳的探索认知过程．因此本节课给学生提供以下4种学习的机会：(1)提供观察、思考的机会：鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳；(2)提供操作、尝试、合作的机会：鼓励学生大胆发现问题，讨论问题，解决问题；(3)提供表达、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说；(4)提供成功的机会：赞赏学生提出的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣．

【问题导思一】

立体几何中怎样证明两条直线互相垂直？

【提示】

(1)证明两直线所成的角为90°.(2)证明两直线的方向向量垂直．(3)转化为先证直线与平面垂直，再用线面垂直的性质．

设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 【问题导思二】

1．如果已知直线的方向向量与平面的法向量，怎样证明直线与平面垂直？

【提示】

证明直线的方向向量与平面的法向量共线．

2．除上述方法外，还有其他证明方法吗？

【提示】

可以证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量都垂直．

设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．

【问题导思三】

若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v

＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

【课堂互动，典例探究】

题型一

利用空间向量证明线线垂直

例1

已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱1CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. 4

题型二

利用空间向量证明线面垂直

例2

如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC. 证明：A1C⊥平面BED.

题型三

利用空间向量证明面面垂直

例3

在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.

【课堂小结】

1．用空间向量解决立体几何中的垂直问题，主要运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也需要借助空间中已有的位置关系及关于垂直的定理．

2．应用向量证明垂直问题的基本步骤：

(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面；

(2)通过向量运算研究垂直问题；

(3)根据运算结果解释相关问题．

【课后作业】