1.1.3 四种命题间的相互关系教学内容

四种命题间的相互关系

教学目标：了解命题的逆命题、否命题与、逆否命题的概念，明白四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法，正确判断命题的真假，初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识．

教学重点：逆命题、否命题、逆否命题的概念及求法．

教学难点：把命题写成若p则q的形式．

教学过程

一．问题情境

1．情境：

在我们日常生活中，经常涉及到逻辑上的问题。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要用逻辑用语表达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理。

在初中我们已经学过命题的有关概念，下面我们来复习一下：

2．问题：

下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？

①若xy1，则x,y互为倒数；

②相似三角形的周长相等；

③245

④如果b1，那么方程x22bxb2b0有实根；

⑤若ABB，则BA；

⑥3不能被2整除；

二．学生活动

结论：这些语句都是陈述句，且它们都能判断真假。

一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命题，为真命题；判断为不正确的命题，为假命题；

上述命题中①④⑥为真命题，②③⑤为假命题；

三．建构数学

判断下列命题的真假，你能发现各命题之间有什么关系？

①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；

②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；

③如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；

④如果两个三角形不相等，那么它们不全等；

结论：命题①④为真，②③为假；①与②、③与④条件和结论互逆，①与③、②与④条件和结论互否；

1．原命题与逆命题

即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题. 2．否命题与逆否命题

即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.

3．原命题与逆否命题

即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.

关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以这样表述：（原命题为：若p，则q）

⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；（逆命题为：若q，则p）

⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；（否命题为：若非p，则非q）

⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题. （逆否命题为：若非q，则非p）

四．数学运用

1．例题：

例1．写出命题“若a0,则ab0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。

解：原命题：若a0,则ab0是真命题；

逆命题：若ab0，则a0是假命题；

否命题：若a0，则ab0”是假命题；

逆否命题：若ab0，则a0”是真命题；

说明：原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.

例2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。

（1）两个全等的三角形的三边对应相等；

（2）四边相等的四边形是正方形；

（3）负数的平方是正数；

分析：关键是找出原命题的条件p和结论q. 解：（1）原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的三边对应相等；（真）

逆命题：若两个三角形的三边对应相，则这两个三角形全等；（真）

否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不是三边对应相等；（真）

逆否命题：若两个三角形不是三边对应相等，则这两个三角形不全等；（真）

（2）原命题可以写成：若一个四边形四边相等，则它是正方形；（假）

逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；（真）

否命题：若一个四边形四边不相等，则它不是正方形；（真）

逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；（假）

(3)原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数. 另解：原命题可写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数；（真）

逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；（假）

否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；（假）

逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方. （真）

说明：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）. 4．四种命题之间的关系：

例3．设原命题是“当c0时，若ab，则acbc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假. 分析：“当c0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是ab，结论是acbc. 解：逆命题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题；

否命题：当c0时，若ab，则acbc.它是真命题；

逆否命题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题.

2．练习：课本P7练习１，2 （1）命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为（ ）

A．两直线平行，内错角相等 B．两直线不平行，则内错角不相等

C．内错角不相等，则两直线不平行 D．内错角不相等，则两直线平行

a1”的逆否命题为（ ）

baaaA．若1，则ab B．若ab，则1

C．若ab，则ba D．若1，则bbbab

（3）写出“若x2y20，则x0且y0”的逆否命题： ；

（2）命题“若ab，则（4）把下列命题写成“若p则q”的形式，并判断其真假. (1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧. （5）写出命题“若a和b都是偶数，则ab是偶数”的否命题和逆否命题．

（6）判断命题“若xy5，则x2或y3”的真假．

五．回顾小结：

1．四种命题的准确表达及其相互关系；

2．等价转化的思想方法：互为逆否的两个命题同真同假的应用．

六．课外作业：课本P8习题1.1 第１，2题