1.1.1 命题优秀教学设计

1.1.1

命

题

学习目标

1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.

知识点一

命题的概念

思考1

在初中，我们已经学习了命题的定义，它的内容是什么？

答案

对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题. 思考2

依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题. ①三角形外角和为360°；

②连接A、B两点；

③计算3－2的值；

④过点A作直线l的垂线；

⑤在三角形中，大边一定对的角也大吗？

答案

根据命题的定义，只有①为命题，其他说法都不是命题. 梳理

(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”.我们学习过的定理、推论都是命题. (3)分类

真命题：判断为真的语句命题

假命题：判断为假的语句

知识点二

命题的结构

思考1

在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪些知识？

答案

命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命

题常可以写为“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，而“那么”后面接结论. 思考2

完成下列题目：

(1)命题“等角的补角相等”：题设是________，结论是________. (2)命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果________，那么________”.

答案

(1)等角的补角

相等

(2)一个数是实数

它的平方是非负数

梳理

(1)命题的一般形式为“若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式.

类型一

命题的判断

例1

(1)下列语句为命题的是(

) A.x－1＝0

C.你会说英语吗？

(2)下列语句为命题的有________. ①一个数不是正数就是负数；

②梯形是不是平面图形呢？

③22 015是一个很大的数；

④4是集合{2，3，4}中的元素；

⑤作△ABC≌△A′B′C′. 答案

(1)B

(2)①④

解析

(1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；

C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句. 反思与感悟

判断一个语句是否是命题的三个关键点

(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题. (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题. (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题. 跟踪训练1

给出下列语句，其中不是命题的有________. ①2是无限循环小数；

②x2－3x＋2＝0；

③当x＝4时，2x>0；

B.2＋3＝8 D.这是一棵大树

④垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？

⑤一个数不是奇数就是偶数；

⑥2030年6月1日上海会下雨. 答案

②④⑥

解析

②⑥不是命题，因为该语句无法判断其真假；④为疑问句，故④不是命题. 类型二

命题真假的判断

例2

给定下列命题：

①若a>b，则2a>2b；

②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；

π③直线x＝是函数y＝sin x的一条对称轴；

2→→④在△ABC中，若AB·BC>0，则△ABC是钝角三角形. 其中为真命题的是________. 答案

①③④

π解析

结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；而函数y＝sin x的对称轴方程为x＝＋2→→→→→→kπ，k∈Z，故③为真命题；又因为AB·BC＝|AB||BC|cos(π－B)＝－|AB||BC|cos B>0，故得cos B<0，从而得B为钝角，所以④为真命题. 引申探究

→→1.本例中命题④变为：若AB·BC<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？

→→解

不是真命题，AB·BC<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定.只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形. →→2.本例中命题④改为：若AB·BC＝0，则△ABC是________三角形. 答案

直角

→→解析

由AB·BC＝0，得∠B＝90°，故该三角形为直角三角形. 反思与感悟

一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一.欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可. 跟踪训练2

下列命题中假命题的个数为(

) ①多边形的外角和与边数有关；

②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；

③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；

④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0. A.1

B.2

C.3

D.4

答案

C 解析

因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例. 类型三

命题结构形式解读

例3

将下列命题写成“若p，则q”的形式. (1)末位数是0或5的整数，能被5整除；

(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根. 解

(1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除. (2)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根. 反思与感悟

把命题改写成“若p，则q”的形式，关键是找到命题的条件“p”和结论“q”，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么. 跟踪训练3

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假. (1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；

(2)负数的立方是负数；

(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2. 解

(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等.是真命题. (2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数.是真命题. (3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2.是假命题.

1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是(

) A.两个平面

B.一条直线

C.垂直

D.两个平面垂直于同一条直线

答案

D 解析

所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，

故选D. 2.下列命题是真命题的为(

) 11A.若a>b，则<

abB.若b2＝ac，则a，b，c成等比数列

C.若|x|

D.若a＝b，则a＝b

答案

C 解析

选项A，只有当a>b且ab>0时，

11才能得到<；

ab选项B，令a＝b＝c＝0，此时显然不是等比数列；

选项D，若a＝b<0，则结论显然不成立，故选C. 3.命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________________. 答案

(－∞，0)∪(0，1) a≠0，a≠0，a≠0，解析

据题知即得

Δ>0，4－4a>0，a<1，

故a的取值范围为(－∞，0)∪(0，1). 4.命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________. 答案

(－∞，－4]∪[4，＋∞) 解析

由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4. 5.命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围. 解

“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论. 当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；

当m>0，且Δ＝m2－12m<0，

即00恒成立，

所以0

1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可. 2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.

40分钟课时作业

一、选择题

1.下列语句中是命题的是(

) A.周期函数的和是周期函数吗？

B.sin 45°＝1 C.x2＋2x－1>0 D.梯形是不是平面图形呢？

答案

B 2.下列命题中是假命题的是(

) A.若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b

B.若|a|＝|b|，则a＝b

C.若ac2>bc2，则a>b

D.5>3 答案

B 解析

当|a|＝|b|成立时，a与b不一定相等，故选项B错误. 3.已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是正确的.如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，在所得的命题中，真命题有(

) A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

答案

C 解析

把α、β换成直线a、b时，则该命题可改写为“a∥b，且a⊥γ

⇒b⊥γ”，由直线与平面垂直的判定定理可知，该命题是正确的；把α、γ换成直线a、b时，则该命题可改写为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β

”，它是判断直线与平面的位置关系的，显然是错误的；把β、γ换成直线a、b，则该命题可改写为“a∥α，b⊥α⇒a⊥b”，显然成立. 4.下列命题是真命题的是(

) A.若ab＝0，则a2＋b2＝0 B.若a>b，则ac>bc

C.若M∩N＝M，则N⊆M

D.若M⊆N，则M∩N＝M

答案

D 解析

A中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M说明M⊆N.故A、B、C均错误.

5.已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是(

) A.若a∥b，则α∥β

B.若α⊥β，则a⊥b

C.若a、b相交，则α、β相交

D.若α、β相交，则a、b相交

答案

D 解析

D中如果α、β相交，a和b可以相交，也可以异面. 6.对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(

) A.|a·b|≤|a||b|

C.(a＋b)2＝|a＋b|2

答案

B 解析

设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立.故选B. 7.命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是(

) A.a<0或a≥3

C.a<0或a>3

答案

A 解析

若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是真命题，当a＝0时，3>0符合题意，当a≠0时，则a>0且Δ<0，解得00恒成立”是真命题，故当a<0或a≥3时，命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题. 8.已知命题“直线l与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题：

①直线l上的点都在平面α内；

②直线l上有些点不在平面α内；

③平面α内任意一条直线都不与直线l平行. 其中真命题的个数是(

) A.3

B.2

C.1

D.0 答案

D 解析

直线l与平面α有公共点，则直线l与平面α相交或直线l在平面α内，因此可判断①②③都是假命题，故选D. 二、填空题

9.命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是_____________，结论是_____________. 答案

函数为y＝2x＋1

该函数是增函数

10.下列命题：

B.a≤0或a≥3 D.0

①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直. 其中假命题的个数是________. 答案

4 解析

①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④矩形的对角线不一定垂直. 11.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________. 答案

(0，2) 解析

函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点等价于函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|及y＝b的图象，如图.由图可知b∈(0，2).

三、解答题

12.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假. (1)当ac>bc时，a>b；

1(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；

4(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0. 解

(1)若ac>bc，则a>b. ∵ac>bc，c<0时，a，则mx2－x＋1＝0无实根. 4∵Δ＝1－4m<0，∴该命题是真命题. (3)若ab＝0，则a＝0或b＝0，∴该命题是真命题. 13.(1)已知“方程ax2＋bx＋1＝0有解”是真命题，求a，b满足的条件；

aa(2)已知命题“若x1”是假命题，求a满足的条件. x1x2解

(1)因为ax2＋bx＋1＝0有解. 所以当a＝0时，bx＋1＝0有解，只有b≠0时，

1方程有解x＝－. b当a≠0时，方程为一元二次方程，

有解的条件为Δ＝b2－4a≥0. 综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，

方程ax2＋bx＋1＝0有解. aa(2)因为命题当x1为假命题，

x1x2ax2－x1aa所以应有当x1

即≤0. x1x2x1x2因为x10，x1x2>0，

所以a≤0. 14.给出两个命题：

命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；

命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数. 分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：

(1)甲、乙至少有一个是真命题；

(2)甲、乙中有且只有一个是真命题. 1解

命题甲为真命题时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a>或a<－1. 31命题乙为真命题时，2a2－a>1，即a>1或a<－. 2(1)甲、乙两个命题中至少有一个是真命题时，

11a的取值范围是{a|a<－或a>}. 23(2)甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题，有两种情况：

11甲真乙假时，

3211∴甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题时，a的取值范围为{a|