3.1.3 导数的几何意义课堂实录及点评

3.1.3导数的几何意义

一．教学目标：

【知识与技能目标】通过实验探究，理解导数的几何意义，体会导数在刻画函数性质中的作用授

【过程与方法目标】

培养学生分析、抽象、概括等思维能力；通过“以直代曲”思想的具体运动，是学生达到思维方式的迁移，培养学生科学的思维习惯。

【情感态度价值观目标】

渗透“逼近”和“以直代曲”思想，能激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力。

二．重、难点分析

重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法．

难点：对导数几何意义的理解与掌握，在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．

关键：由割线PPn趋向切线动态变化效果，体现“量”与“质”的转化额与相互替代．

三、教学过程设计

1．

提出问题---引入课题

温故知新，诱发思考：

提问：初中平面几何中圆的切线的定义是什么？

学生（预设）：直线和圆有惟一公共点时，直线叫做第

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圆的切线，惟一公共点叫做切点．

教师：这种定义是否适用于一般曲线的切线呢？

——学生（预设）：学生回答适应，教师举出反例子；

——学生（预设）：不能用公共点的个数来定义，

教师：你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？

学生（预设）：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点．

教师（强调）：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线c，直线l3虽然与曲线c有惟一公共点，但它与曲线c不相切；而另一条直线l2，虽然与曲线c有两个公共点B和C，但与曲线c相切于点B．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线．我必须用新的方法来定义曲线的切线．，

设计意图：帮助学生反思圆的切线的定义的局限性，寻找更加科学的方法来定义曲线的定义．

2．自主思考，参与探究---形成概念

实验观察，思维辨析：如图，当点Pn(xn,f(xn))（n1，2，3，4）没着曲线fx趋近点Px0,fx0时，割线PPn的变化趋势是什么？

（1）图

（2）图

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（4）图

教师：当P1向P逐步逼近的时候你发现了什么？

（板书）：曲线的切线的定义：

1．曲线的切线的定义

当PnP时，割线PPn（确定位置）PT，PT叫做曲线在点P处的切线．

教师：有没有同学用你学的知识告诉我：割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系呢？

割线PPn的斜率是：（板书） kPPfxn)f(x0xnx0n．

当点Pn无限趋近于点P时，kPP无限趋近于切线PT的斜率k．再n次通过教师逐步的引导得出函数fx在xx0处导数就是切线PT的斜率k．即（教师重复定义，并写出板书）．

2．函数f（x）在x=x0处的导数是切线PT的斜率k．即

f(x0 klimx0x)f(x0)fx0。

x观察发现

思维升华：在点P的附近，PP2比PP1更接近曲线f（x），PP3比PP2更接近曲线f（x），……．过点P的切线PT最贴近P附近的曲线f（x）．因此，在点P的附近，曲线f（x）可以用过点P的切线PT近似代替．

教师诱导学生观察，并下结论，教师强调，“以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法．

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3．学而习之 【小试牛刀】 例1：求抛物线yx2在点A(1,1)处的切线方程．

变式训练：过抛物线yx2的点P0处的切线平行直线y2x3，求点P0的坐标．

设计意图：回顾重点，突出导数的几何意义及应用．

【游刃有余】例2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数ht4.9t26.5t10的图像．根据图像，请描述比较曲线ht在t10.5s，t00.7s,t21s，t32s附近的变化情况。

讲析要点：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；

例3：课本73页例3 4．课堂小结 本节课重点在于讲述导数的几何意义以及利用导数的几何意义解释实际问题，运用逼近思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。

5．课后思考---巩固新知. 求过点B(3,5)且与抛物线yx2相切的直线方程．

6．作业

三维设计本节内容

7.反思

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