3.4 生活中的优化问题举例主要内容及教案内容

【学习要求】1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. 【学法指导】1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想.2.感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.

X kB1.cOM1.在经济生活中，人们常常遇到最优化问题.例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是

.

xkb1.com2.利用导数解决最优化问题的实质是

. 3.解决优化问题的基本思路是

上述解决优化问题的过程是一个典型的

过程.

引言

数学源于生活，寓于生活，用于生活.在我们的生活中处处存在数学知识，只要你留意，就会发现经常遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“利润最大”等问题，这些问题通常称为最优化问题，在数学上就是最大值、最小值问题.导数可以解决这些问题吗？如何解决呢？

探究点一

面积、体积的最值问题

问题

如何利用导数解决生活中的最优化问题？

例1

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

跟踪训练1

如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计).新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积.x k b 1 . c o m

探究点二

利润最大问题

例2

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

跟踪训练2

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：a元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

探究点三

费用(用材)最省问题w w w .x k b 1.c o m

例3

已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8

[来源学&科&网Z&X&X&K]

跟踪训练3

现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；

(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？

【达标检测】

1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为(

) A.4

B.6

C.4.5

D.8 2.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为

A.0.016 2

C.0.024 3

(

) B.0.032 4 D.0.048 6 3.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可13以表示为y＝x3－x＋8(0

新课

标第

一

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