4.5 反函数的概念PPT配套教学设计内容

第四轮普陀杯教师专业评比——高中数学学科决赛

课题：反函数（1）

时间：2017年11月29日第三节

地点：上海市曹杨二中

高一（3）班

执教：上海市宜川中学

刘艳

【教学目标】

1．

理解反函数的概念，会求简单有理函数的反函数，掌握函数与反函数在定义域、值域及其对应法则上的内在联系；

2．

经历解决两种温度度量制之间的相互转化问题，感性认识反函数，从特殊到一般导出反函数的概念，在求反函数的过程中体会函数与方程思想；

3．通过反函数的学习，认识函数与反函数在对应关系表达上的对立与统一，培养辩证唯物主义思维. 【教学重点】

反函数的概念，求简单有理函数的反函数

【教学难点】

理解反函数的概念

【教学过程】

一、概念引入

不同的物理单位可以相互转化。已知温度度量制摄氏度（℃）和华氏度（℉）之间的关系可以表示为一次函数，根据表格求出函数关系式. ℃

℉

以℃的数值为自变量可得y

二、反函数的概念

对于函数yfx，设它的定义域为D，值域为A，如果对于A中任意一个值y，在

0 32 20 68 35 95 表1 100 212 115 239 95160x32，以℉的数值为自变量可得yx. 599D中总有唯一确定的x与它对应，且满足yfx，这样得到的x关于y的函数叫做

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yfx的反函数，记作xf1y. 按习惯可以改写为yf1x,xA.

根据定义，如果函数yfx有反函数yf反函数yf11x，那么函数yfx的定义域为x的值域，yfx的值域为反函数yf1x的定义域，且二者有反1向的对应法则，即如果fab，那么f

【问题】1．

ba.他们互为反函数. 1)

（课后练习P15/1）下列各图中，哪个是具有反函数的函数图像？

2)

函数fxx,xR有反函数吗？

2如果函数fxxa,x1,有反函数，那么实数a的取值范围是_________；如果函数fxxa,x1,2有反函数，那么实数a的取值范围是__________；

3)

函数在定义域上是单调函数是该函数有反函数的________条件；.

三、求反函数

【问题】2．求下列函数的反函数：

1)

22fx1；

x12)

3)

fxx31；

fxx22x2,x,0；

求反函数的步骤提炼：

1)

反解：由方程yfx反解出xgy；

2)

互换：互换x、y得到ygx

3)

求值域：求出原函数的值域A，这是反函数的定义域，于是f即为所求函数；

1xgx,xA

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【问题】3．

1)

已知函数fxax12x11的反函数为fx求实数

a、xR且x2，bxcx2b、c的值；

2)

形如ykxbk0的一次函数，若与其反函数是同一个函数，则系数k、b应满足条件_______________；

四、小结

五、思考题

若函数yfx，定义域为D，值域为A，记其反函数为f1x，当f1x满足什么要求时，方程fxa有解x0，且对任意xD，都有fxx？

六、作业

1.

练习册A组1、2、3，B组1、4、5；

2.

若函数fxax1与其反函数是同一个函数，则实数a=______________. x313.

如果定义域为R的函数yfx的反函数记为yfx，那么函数yfx1的反函数是yf1x1吗？

14.

若函数yfx，定义域为D，值域为A，且DA，记其反函数为fx，那么函数yf

fx与函数yffx是同一个函数吗？

11

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【教学设计】

反函数位于教材第四章的第五小节，是高中数学基础课程第三单元函数与分析中的一项内容。在此之前，学生已经学习了函数及其基本性质，基本初等函数幂函数和指数函数，对数的概念及其运算。从初中的逆运算概念到高中的反函数概念是学生数学学习层次的一个提升，反函数揭示了指数函数与对数函数的本质关联，函数的图像与其反函数的图像于直线yx对称，这就为对数函数的图像与性质的学习打下了基础，也为今后学习反三角函数的图像与性质打下了基础。但是反函数的概念本身比较抽象，又与函数的概念息息相关，所以本节课的设计思路主要是通过实际问题引入，以已知初等函数为研究基础，使学生获得反函数学习的感性认识，再从特殊到一般，提升抽象思维能力.

教材安排本节内容为两课时，本节课是第一课时，所以安排内容为学习反函数的概念和求已知函数的反函数。引入部分采用课本提出的单位换算问题，凸显反函数的现实背景和应用价值，从部分数值列表和解析式多角度挖掘函数与反函数的内在联系。然后类比函数的定义，由逆对应引出反函数的定义，体现函数与反函数的对立与统一。通过问题1，深入辨析反函数存在的条件；然后通过问题2，求一些简单有理函数的反函数，归纳整理出求反函数的步骤；问题3主要是研究函数与反函数相同这一类特殊的函数。在小结中，提出除了从数的角度，还可以从形的角度来研究函数图像与反函数图像的内在联系，为下节课做好铺垫。思考题进一步研究抽象函数与反函数的关系，加深对概念的理解，提高思维水平。

【板书设计】

课题

实例

反函数的定义

步骤归纳

教师板演

求反函数

学生板演1 求反函数

学生板演2

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