本章小结教学实录

第六章三角函数单元复习（一）

执教教师：李青青

一、教学目标

1、复习正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和基本性质。

2、熟练运用五点法作出一般正弦函数yAsin(x)的图像。

3、能够结合图像研究函数yAsin(x)的基本性质。

4、在知识迁移过程中感受数形结合、转化等数学思想在解题中的运用，提高学生解决问题的能力。

二、教学重难点

重点：一般正弦函数yAsin(x)的图像和性质。

难点：结合图像研究函数的基本性质。

三、教学步骤

（一）梳理本章知识脉络

课前下发本单元知识点梳理材料，学生独立完成后小组交流，达到巩固基础知识的目的。

（二）突出主线，强化知识应用

2例题：研究函数f(x)sinxcosx2sinx2的基本性质。

2首先明确需要研究哪些基本性质，包括奇偶性、单调性、最值、周期性和对称性。

（1）化简函数

f(x)sinxcosx2sin2x22sinxcosx2sin2x1sin2xcos2x2sin(2x)4说明：研究复杂三角函数的相关问题，通常是利用三角恒等变换将其化为形如

2yAsin(x)的表达式，进而研究它的基本性质。

（2）画图像

说明：正所谓“数缺形时少直观，形少数时难入微。”数形结合是我们高中数学学习中不可或缺的研究方法。对简单的初等函数而言，先画出函数图像再研究其性质会更加直观。而对于复杂的函数则恰好相反，应该先研究其函数性质再结合描点画出大致图像。

复习如何利用五点法画出该函数一个周期的图像。

练习1、已知函数图像，请写出对应的函数解析式yAsin(x)(A0,0,||

（3）求周期

利用公式T2)

2求得该三角函数的周期。

说明：三角函数的周期性是学习三角函数的一把钥匙。因为三角函数具有周期性，研究定义1-3

在实数域上的三角函数的性质可以转化为研究一个周期内三角函数的性质。

练习2、函数y|2sin(2x分别是多少？

说明：

y|sin(x)|，y|cos(x)|的周期为T)|，

y|2cos(2x)|，y|2tan(2x)|的周期444；y|tan(x)|的周期任然是T。

（4）求最值（或值域）

3,kZ时，f(x)max2。

87,kZ时，f(x)min2。

当xk8当xk练习3、若定义域为0,，求函数的值域。

2上的图像，观察得到值域。

2法一、（几何方法）截取函数在0,法二、（代数方法）先确定相位2x的范围，再求值域。

4说明：对于形如f(x)Asin(x),xa,b的函数求值域问题，需先确定相位x的范围，再求值域。切记勿将定义域的两个端点a、b直接代入函数得到最值。

练习4、求函数y2sinx2cosx2的最值。

说明：对于yasinxbsinxc型或可化为此型的函数求值域问题，一般可通过换元法转化为二次函数在闭区间上的求值域问题。

（5）求单调区间

22f(x)在区间[k37,k]kZ上单调递减；

883]kZ上单调递增。

在区间[k,k88法一、观察图像，在具体的单调区间上添加周期得到单调区间。

法二、运用整体代换的思想，通过解不等式计算得到单调区间。

说明：建议大家平时训练中能多思考一题多解，一方面可以拓宽解题思路，另一方面在经过对比以后还能不断优化自己的解题方法，进而提升学习效率。

练习5、求函数y

2-3 2sin(2x)的单调递增区间。

4

（6）求对称轴和对称中心

k3,kZ。

28k,0),kZ。

对称中心为(28对称轴为x练习6、已知函数ysinxacosx的一条对称轴是x4，求实数a的值。

说明：就函数图像而言，对称轴是经过波峰、波谷且垂直于x轴的直线。在解题中可将对称轴直接代入函数取得最值，以此建立方程求解参数的值。

（7）图像变换

该函数是由ysinx经过怎样的图像变换得到的？

路径一、ysinxysin(x)ysin(2x)y2sin(2x)

444此路径因注意什么？（横坐标变化仅在x之前加系数，与初相无关。）

路径二、ysinxysin2xysin(2x)y2sin(2x)

44此路径因注意什么？（左右平移需将x的系数先行提出）

（三）拓展提高

sinx,sinxcosx1、设f(x)，试写出f(x)的最小正周期、最值和单调递减区间（不cosx,sinxcosx必证明）。

2、已知函数f(x)2sin(x完全相同。

（1）求函数f(x)的最小正周期；

（2）求函数f(x)的单调递减区间；

6)a,(0)与g(x)2cos(2x)1的图像的对称轴（3）当x0,时，f(x)的最小值为-2，求实数a的值。

2（四）课堂小结

本章的基本概念和基本技能：

1、理解正弦函数、余弦函数和正切函数的意义，会作它们的图像；

2、掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性、周期性、单调性、值域等性质及其图像特征；

3、对于函数yAsin(x)(A0,0)，掌握它与函数ysinx之间的关系，领会A、、对函数的图像和性质的影响，掌握它的周期性、单调性、最值等性质。

本章常用数学思想：数形结合、转化等。

3-3