正弦定理、余弦定理和解斜三角形特级教师教学实录

5.6 正弦定理

学科＿＿数学＿＿教学主题（章节）＿5.6＿

设计者＿刘雅楠＿＿日期＿＿2018.4.23＿＿

一、目标设计

1、

教材分析：

本节课是上海教育出版社高中一年级第二学期（试用本）第五章第6节《解斜三角形》的第一课时——正弦定理，是在学生学习了三角知识的基础上，对三角形问题的进一步探索，也是对初中的解直角三角形的拓展和延伸，同时还是解决实际问题的重要工具。因此正弦定理具有重要的理论地位和实际用途。

本节课主要包含三个方面的内容：（1）正弦定理的发现过程：从实际问题出发引出解斜三角形的问题，进而从熟悉的直角三角形出发探索三角形6个元素（三个角和三条边）中的边角关系，引导学生大胆猜想。（2）正弦定理的证明过程：根据猜想，通过特殊到一般的方法证明正弦定理，验证猜想。考虑到学生的基础，教学过程中主要采用“作高法”分别对直角三角形、锐角三角形和钝角三角形加以证明，并得到三角形的面积公式，“等积法”“坐标法”和“外接圆法”对学生要求较高，留给学生作为课外思考及下节课内容。（3）正弦定理的简单应用：利用正弦定理解决引例，并会判断在什么条件下应用正弦定理。

2、学情分析：

（1）学生在初中已经学习了三角形的边角关系，如三角形的内角和为180度，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三角形中大边对大角，小边对小角。

（2）学生已经学习过任意角的三角比知识，能够表示出三角形中的边角关系。

（3）学生已经学习过解直角三角形的问题，有利于用已知解决未知。

（4）学生有一定的数学建模能力，便于将实际问题抽象为数学模型。

3、设计思想：

通过实际问题构建问题情境，激发学生运用已学知识构建数学模型，解决实际问题，进而引出对三角形边角关系的探索，鼓励学生运用已学知识进行大胆猜想，并试图采用不同的方法对猜想加以证明，最后应用所学解决实际问题。通过正弦定理的探索、发现和证明过程，使学生体会“观察——猜想——证明——应用”的科学的探索发现过程，培养大胆猜想、善于思考的品质以及积极探索，勇于求真，学以致用的科学精神。

4、教学目标：

（1）知识与技能：能够从直角三角形发现正弦定理；能够证明正弦定理；能够掌握正弦定理的简单应用。

（2）过程与方法：通过将实际问题抽象为数学问题，进一步强化学生数学建模的能力；通过类比直角三角形猜想出正弦定理，培养学生类比于猜想的思维品质，发现问题与分析问题的能力；通过由直角三角形到斜三角形的证明过程，使学生进一步熟悉特殊到一般的证明方法；在正弦定理的发现和证明过程中进一步体会用已知解决未知的数学思想。

（3）情感、态度与价值观：通过正弦定理的发现和证明过程，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生大胆猜想、勇于探索的创新精神和乐于求证、实事求是的科学态度，以及欣赏美，发现美的精神。

5、教学重难点：

教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用；

教学难点：正弦定理的发现过程和证明过程；

二、教学过程：

1、情景引入

设置问题情教学过程

设计意图

从实际问题出发，引出解斜三角形的问题，激发学生探索热情。

某海域，一艘渔船向正东方向航行，在B处发现东偏北45方向处有一灯塔A，该渔船继续航行10海里后，在C处发现灯塔A在东偏北75方向，问此时渔船离灯塔多少海里？：

教师引导学生，将实际问题抽象为数学模型。

A境

通过师生互动、生生互动进一步强化学生的数学建模能力，引导学生把实数学建模

过程

B45°C75°E际问题转化

为数学问题进行求解。 如图，已知B45引入解三角形问题

,BC10,ACE75,求AC的长。我们把上述条件放在ABC当中来看，就是在ABC中，已知A和C两个角，以及C的对边，来求A的对边这样一个解三角形的问题。那么，什么是解三角形呢？

一般地，在三角形的三个角和三个边这六个元素中，知道几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

解直角三角形的问题我们初中已经解决，除了直角形还有什么三角形？那么如何解一个斜三角形呢？这就是本节课我们要解决的主要问题。接下来我们来共同探讨和发现。

借助引例引出解三角形问题，鼓励学生寻求更为简单快捷的方式，引出本节课主题。

2、正弦定理的发现

观察特例，发现规律 三角形的内角和为180度。

三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

三角形中大边对大角，小边对小角。

问题②：在Rt△ABC（C为直角）中，各边、角之间又存在何种数量关系？（可以结合我们上一章所学的三角比的知识）

教学过程

1：在任意三角形中，各边、角之间都存在着哪些关系？

问题○设计意图

复习旧知，引出新知，建立新旧知识的联系。从熟悉的直角三角形的边角关系出发猜想出Rt△ABC的正弦定理，再由特殊到一般猜想出一般结论，培养学生特殊到一般的思维习惯。

sinAab，sinB

cc问：这两个式子中都含有哪条边长？

是c边，我们能不能通过c边把以上两个等式建立联系？

cab

sinAsinBA c 观察这个等式发现：分子是a边，b边，分母是它们所对角的正弦，a边，b边如此，c边是否如此呢？c边所对角的正弦为sinC。

b C a B 因为sinCsin90o1，

ccsinC

abc所以有

sinAsinBsinC问题③：这个等式说明在中，各边和它的对角之间存在什么关系？RtABC

abc也就是各边和它所对角的正弦的比相等。

sinAsinBsinC，思考：此关系式能不能推广到任意三角形？

引导学生掌握科学提出猜想：在任意的△ABC中, 各边和它所对角的正弦的比相等,

即：

的探究方法，鼓励学生大胆猜想，勇敢求证，培养学生的创造性思维，同时为之后学习数学归纳法作好铺垫。

验证猜想

用几何画板验证猜想

先用实验验证猜想的正确性，然后再用理论加以证明。

abc

。

猜sinAsinBsinC想

3、正弦定理的证明

教学过程

（1）作高法（将任意三角形转化为直角三角形）：

①直角三角形（已证）

学习评价

引导学生用已知解决未知，把斜三角形转化成直角三角形，通过作高构造直分类探讨，特殊到一般

②钝角三角形

角三角

如图，在钝角△ABC中，BCa,ACb,ABc，作AD垂直BC的延长线于D，则有

形，由特殊到一般，分类讨论，培养科学严谨的思维习惯，建立正确的探究方法，形成良好的逻辑思维能力。

ADcsinBbsin(C)bsinC

bcsinBsinC同理，作BE垂直AC的延长线于E，则有

BEcsinAasin(C)asinCacsinAsinC

同理，作CF垂直AB的延长线于F，则有CFasinBbsinAabsinAsinB

因此有

abcsinAsinBsinC

③锐角三角形

如图，在锐角△ABC中，BCa,ACb,ABc，作AD垂直BC于D，则有

ADcsinBbsinC

bcsinBsinC同理，作BE垂直AC于E，则有

BEcsinAasinCacsinAsinC

同理，作CF垂直AB于F，则有

CFasinBbsinAabsinAsinB

因此有

abcsinAsinBsinC

综上所述，在任意ABC中，A、B、C与它们所对的边a、b、c满足结论：abc

sinAsinBsinC我们把它称作正弦定理。

结构特点：对称美，各边与其对角的正弦严格对应，成正比例。

活动1：如图，已知A45,AB10,ABE75,求BC的长。

C

让学生用正弦定理重新解决引例，和原来的方法比较,感受正

弦定理的优势。

公式的应用

A45°B75°E

解：c10,A45,C754530,23sinA,sinC22由ac得a102，所以BC102。

sinAsinC通过例活动2：下列哪些三角形可以用正弦定理来解？（不必求解）

B知识检测

x120°20C20Bx120°C题感受正弦定理的使用条件，获得感性认识。

A8

x°720°C20°20°B

（1）

（2）

（3）

AA

A30°BxC10A67

xB90°6950°4CCAB（4）

（5）

（6）

小结：已知已知两角一边或两边及其中一边对角时，选择正弦定理解三角形。

4、课堂小结

回顾我们刚才证明正弦定理的过程，学习到哪些？（学生总结）

（1）正弦定理的发现及证明

（2）正弦定理的简单应用:已知两角一边或两边及其中一边对角。

5、作业设计

课本P69 1、2 补充题

1.在∆ABC中，A=45°，B=60°，a=10，求边长b的长度。

2.在∆ABC中，A=30°，a=(3√3)/4，b=4，求sinB的值。

3.在∆ABC中，A：B：C=1：2:3，求a：b：c的值。

以上作业写在活页纸上。

6、板书设计

课题

一、实例引入

二、正弦定理的发现

三、正弦定理证明

四、正弦定理的简单应用

五、课堂小结

六、课后作业