习题2.3第二课时教案

课题：双曲线习题课

——习题2.3 广东江门培英高级中学 刘莲

【教学目标】：

（一）知识与能力

1．巩固双曲线的定义、方程及几何性质；

2．能运用双曲线的几何性质解题，提高学生对基本知识的运用能力。

（二）过程与方法

1．通过对知识点回顾，加强学生对双曲线的定义与性质的整体把握；

2. 通过对题型的分类，培养学生的归纳，分类能力。

3．渗透数形结合思想，提高学生解题能力；

（三）情感态度与价值观

1．通过归纳，应用认识学习数学的实际意义，体会数学的应用,培养学生的数学应用意识。

2.通过知识点与题型的分类让学生认识到数学学习有规律可循，让学生体会学习的乐趣，培养学生学习数学的热情。

【教学重点】：

1.双曲线的定义，方程与几何性质。 2.解决简单双曲线的综合问题。

【教学难点】：双曲线的综合问题。

【学情分析】

本节课为新课标人教A版选修2-1双曲线的习题2.3，是在学习了双曲线的定义和性质之后的一节习题，本节内容主要是为了巩固双曲的定义和双曲线的标准方程。授课对象是培英高级中学高二新疆班的学生，这些孩子大部分数学基础比较薄弱，理解能力需要加强，归纳能力较弱，因此本节课重在让学生学会题型的归纳，学会基本的解决双曲线问题的思路和方法。

[教学方法]：启发诱导式，讲练结合法

[教学流程]:复习回顾题型感知题型分类

题型讲解练习小结归纳作业布置. [教学手段]：讲练结合法与多媒体辅助教学，提高教学效率，扩大教学容量

[教具准备]：多媒体课件

[教学过程]：

一．【知识点回顾】

1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于2a(2a|F1F2|)的点的轨迹。即点集P|PF1PF22a。（2aF1F2为两射线；2aF1F2无轨迹。）无外面的绝对值则为半条双曲线。

2.双曲线的标准方程及几何性质

标准方程

x2y221(a0,b0)

2ab

y2x221(a0,b0)

2ab图形

焦点

焦距

范围

性

对称性

顶点

轴

准线

质

渐近线

F1（-c,0)，F2（c,0)

F1（0,c)，F2（o,c)

| F1F2|=2c abc一个Rt

222|x|a,yR

|y|a,xR

关于x轴，y轴和原点对称

(a,0)

，

(a,0)

(0,a)

， (0,a)

实轴长2a，虚轴长2b

a2x

cxyb0yx

abaa2y

cxya0yx

babx2y2y2x2共渐近线的双曲线系方程22k或2k(k0)

2abab离

心

率

ec(e1)

a

二．【题型感知，归纳知识点】

完成下列任务：

1.

预览习题2.3中的题目。2.归纳题目中所涉及到的双曲线的基本题型。

学生口答习题2.3中所涉及到的题型。

设计意图：通过让学生自己预览题型，进行题型归纳，可以让学生学会学习方法，培养学生的归纳能力。

三．【题型归纳，习题讲解】

题型一：双曲线的定义问题

1．（习题2.3A组题1）双曲线4x2y2640上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于 。

y2x21

解：由4xy640得641622a8

设p到另一个焦点的距离为m(m0)，则m12816

m17或m15（舍去）

m17

x2y21的左右焦点，若p是双曲线2.（补充题型，焦点三角形问题）已知F1,F2

是双曲线916左支上的点，且PF1PF2的面积。

1F1F2

，试求

Fx2y21中，a29,b216

解：在916c225得c5

F1(5,0),F2(5,0),F1F210

PF110

点P在双曲线的左支上，

PF2PF16

PF216

F1PF2的边PF2上的高为hPF1(F1PF2的面积为S2PF22)6

211PF2h16648

22设计意图：焦点三角形问题也是双曲线问题中一个比较重要的题型，它的解题思路大部分要用到双曲线的定义，在定义中补充这样的题型，旨在让学生理解常见题型的解题思路，拓宽思维，完善解法。

题型二：双曲线问题中的轨迹问题。

（一）回顾求动点轨迹方程的步骤。

(1)建系: 建立直角坐标系；

(2)设点: 设所求动点P(x,y); (3)列式: 根据条件列出动点P满足的关系式; (4)化简: 化简方程；

(5)检验：检验所得方程的纯粹性和完备性, 多余的点要剔除,不足的点要补充。

（二）利用定义求双曲线的轨迹问题

1.

（习题2.3A组题5）如图，圆O的半径为定长r, A是圆O外一个定点，

P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

分析：连接AQ

Q在AP的中垂线上

AQPQ

QAQOQPQOr

A在圆外，

OAr

由双曲线的定义知，点Q的轨迹是以O,A为焦点，r为实轴长的曲线。

2.（习题2.3B组题2）相距1400的A,B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？

解：以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立坐标系

设炮弹爆炸点的轨迹上的点为M(x,y)

MAMB34031020AB

M点的轨迹为以A,B为焦点的双曲线。

x2y2设双曲线方程为221,a0,b0

ab则2a1020得a510，c700

b2c2a270025102229900

x2y21

双曲线方程为260100229900小结：（1）求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简,检验。

（2)定义法(公式法):先判断并证明轨迹形状,再根据特殊曲线定义写出方程。

设计意图：借助这两个题让学生感知双曲线的应用，既有学科中的应用，也有生活中的应用，从中培养同学的学习乐趣，同时培养学生的数学应用意识，提升数学应用能力。

题型三：求双曲线的标准方程

1.（习题2.3 A组

题4）求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8。

（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8。

(3)离心率e2，经过点M(5,3)

x2y2解：（1）设双曲线的方程为221,a0,b0

ab2a10,2b8得a5,b4

x2y21

双曲线方程为2516

y2x21

（2）同学口算，得出答案。916（3）学生计算，教师讲解思路。

解：ec2

ac22a2

b2c2a2a2

x2y2y2x2法一：设双曲线的标准方程为221,a0,b0或221,a0,b0

abab将(5,3)代入上面的两个方程，得得a16（后一个方程无解）

225992511

或a2a2a2a2x2y21,

双曲线方程为1616法二：ba

22双曲线为等轴双曲线，设方程为x2y2(0)

将(5,3)代入上面的方程得16

x2y21,

双曲线方程为1616小结：求双曲线的标准方程，步骤一般是先定型，再定量,即第一步.确定焦点所在的位置。第二步.设出方程的标准形式。第三步.确定方程中的a,b。

2. （习题2.3 A组

题2）求适合下列条件的双曲线的标准方程。

（1）焦点在x轴上，a25

，经过点A(5,2)。

（2）经过两点A(7,62),B(27,3)

。 x2y21（学生练习）

（1）2016

x2y2（2）解：法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为221,a0,b0

ab将A(7,62),B(27,3)代入方程得

497212a2b2a25解得2

289b751a2b2x2y21

双曲线方程为2575y2x2当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为221,a0,b0

ab将A(7,62),B(27,3)代入方程得

724912a2b2b25解得2（舍去）

928a751a2b2x2y21

综上，双曲线方程为2575法二：设双曲线的标准方程为mx2ny22(mn0)

将A(7,62),B(27,3)代入方程得

1`m49m72n125解得

128m9n1n75x2y21

所以双曲线方程为2575设计意图：通过两个例题，让同学们明确求双曲线方程的基本步骤，先定型，再定量。通过1（3）和2（2）让学生明白一些特殊的题型（求等轴双曲线的标准方程，过两点求双曲线的标准方程问题）可以利用特殊的方法求解，通过讲解归纳让学生熟练掌握这类题型。

【自主练习】

(习题2.3 A组

题6)求经过点A(3,1)，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程

x2y2答案：1

88四．【小结】

求方程问题双曲线的定义焦点三角形问题轨迹问题1.习题2.3

等轴双曲线的标准方程(先定型，再定量)双曲线的标准方程方程过两点的双曲线的标准系直线与双曲线的位置关五．【作业】课本P62题1，题4. 六．【教学反思】

本节课是选修2-1双曲线习题2.3的内容，习题涉及内容较多，从课堂的完成情况来看，孩子的计算能力有待加强，对题型的归纳理解能力需要提升。讲解习题之前，习题没让学生提前完成，所以有些内容没有讲解到。需要再评讲一节课。