3.1.1 空间向量及其加减运算优质课教案

东莞市第五高级中学

李捷生

第三章 空间向量与立体几何

3.1.1空间向量及其加减运算（一）

时间：2017-11-24 第三节

地点：东莞市第五高级中学

教师：东莞市第五高级中学

李捷生

教学目标：

㈠知识目标：1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法．

㈡能力目标：1．会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律．

2．结合平面向量的相关性质，体会空间向量和平面向量的共性和差异．

3．通过对空间向量的研究学习，进一步培养数形结合、等价转化的思想．

㈢情感目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会

用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量概念的理解及加减运算法则的灵活应用．

教学难点：向量加减运算法则的灵活应用及应用向量解决立体几何问题．

教学方法：学案导学、自主探究式教学．

教学仪器：多媒体

教学过程：

（一）复习引入

1．指导学生自主复***面向量的知识，教师适当点拨，为“类比”学习空间向量知识作准备。

（请填写下表中“平面向量”的内容）

定义

平面向量

既有大小又有方向的量

有向线段

B 向量

表示方法

A A

空间向量

B 用字母a(或AB)表示向量

相等向量

零向量

特殊向量

单位向量

相反向量

长度______且方向_______的向量

长度为____的向量，记作____，方向____ 长度等于_____________的向量

与a长度_____且方向____的向量，

记作_______

1

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三角形法则

平行四边形法则

加法

b

a

减法

b

a

b

b

a

b

a

b

a

a

ab

ab

运算律

交换律

结合律

(ab)c

(ab)c

2．创设情景引入学习空间向量知识的必要性。

学***面向量的知识后我们可以解决的问题：

2

1

我们生活一个三维空间中，我们碰到的更多是下面这样的问题：

2

3

1

此时，我们发现所学的“平面向量”的知识已经解决不了上面的空间的问题了，所以，我们很有必要寻求解决上述空间问题的新方法、新知识了。接下来，我们就来学习这些内容。

FFFFF

2

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（二）新课讲授

1．类比“平面向量”知识学生自主学习空间向量的有关概念。

（请同学们阅读课本P84～P85

，完成上面表格中“空间向量”的内容。）

2．启发点拨平面向量与空间向量之间的联系和区别。

疑问1：回忆空间中两条直线的位置关系，空间两向量是否也可能异面？

点拨1：空间向量在空间是可以平移的，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，因此我们说空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内。（课件操作）

结论：既然空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内。所以就把空间向量的问题转化成平面向量的问题了（新问题变成了老问题）。

因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

点拨2：空间向量的加法、减法的定义.。

疑问2：涉及空间两个向量的问题解决了，那涉及到三个向量的运算律（结合律）会不会成立呢？

验证：

(ab)ca(bc)

观察图3，回答下列问题：

①OAABBC

②ABBCCOOA

结论：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的 向量．即：

O aA

C b

B 图3

cA1A2A2A3A3A4...An1AnA1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

A1A2A2A3A3A4...An1AnAnA10．

3

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（三）例题讲解

例1如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，

（平行六面体的六个面都是平行四边形）

（1）写出在棱上且与向量B1C1相等的所有向量。

（2）化简并标出化简结果表示的向量ABB1C1

（3）化简并标出化简结果表示的向量ABADAA1

（4）化简：

AC1ACADAA1．

习题反思（3）：

本题第(3)小题与课本P85探究相同，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．

练习：回到前面的问题中，如果三个力相互垂直，请画出它们的合力。

2

3

1

FFF课后思考：如果加上F13N,F25N,F34N的条件，你能求出它们的合力的大小吗？

习题反思（4）：空间向量加减混合运算的处理思路：1、直接进行加减运算；

2、利用相反向量把减法运算转化成加法运算。

变式训练 课本练习第3题

在图中，用AB,AD,AA'表示A'C,BD'及DB'。

习题反思：空间内任意向量能用同始点的三个向量来表示。

（四）巩固练习（课后完成）：

1、下列关于空间向量的说法正确的是（

）

（A）如果两个向量的长度相等，则这两个向量相等；

（B）如果两个向量平行，则这两个向量的方向相同；

（C）如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等．

（D）同向且等长的有向线段表示同一向量；

习题反思：（此题主要考查什么知识？它告诉我们应该注意什么？）

4

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2、两个非零向量的模相等是这两个向量相等的（

）

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

3、在平行六面体中，设ABa，

ADb，

AA1c，则下列与向量D1B相等的向量

表达式是（

）

（A）abc

（B）abc

（C）abc

（D）abc

（五）课时小结：

1、平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是向量在空间的平移．

2、空间向量的概念与运算法则．

3、进行向量的混合运算的思路：①直接运算；②将减法转为加法。

4、求始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，可以作出这三个向量为棱的平行六面体。

5、体会数学中的类比思想、等价转化思想和数形结合思想．

（六）布置作业：

⒈课本P97 1、2

⒉预习课本P86～P89

（七）板书设计：

§3.1

空间向量及其运算（一）

一、空间向量 例1 变式训练

⒈定义及表示 ⒉加减运算 ⒊运算律 （八）教学后记：

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