习题2.3教学设计一等奖

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看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点36 直线、平面垂直的判定及其性质

一、选择题

1.（2012·浙江高考文科·Ｔ5）设l是直线，，β是两个不同的平面（ ）

A.若l∥, l∥β，则∥β B.若l∥，l⊥β，则⊥β

C.若⊥β, l⊥,则l⊥β D.若⊥β, l∥,则l⊥β

【解题指南】可由线面平行与线面垂直的判定与性质进行判断. 【解析】选B. 若l∥, l∥β，则、β可能相交；若l∥，则平面内必存在一直线m与l平行，又l⊥β，则m⊥β，又m，故⊥β．故B对.若⊥β，l⊥，则l∥β或lβ，故C错；若⊥β，l∥, 则l与β关系不确定，故D错. 二、填空题

2.（2012·辽宁高考理科·Ｔ16）已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________. 【解题指南】利用条件，建立关于正三棱锥底面正三角形边长a的方程，求a，然后求三棱锥的高h，则R减去h即为所求. 【解析】由于PA,PB,PC两两垂直，则点P在底面ABC上的射影就是正三角形ABC的中心M，设正三角形ABC的边长为a，则三棱锥的侧棱长为tPAM棱锥的高h，在R32AMaa3，三2，中，由勾股定理得PA2PM2AM2(22326a)h2(a)ha236

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再设球心为O，则OM底面ABC，且OM3h

在RtOAM中，由勾股定理得又h6a6，则解得a22，

663a322663OA2OM2AM2(3)2(3h)2(32a)3

故球心到截面ABC的距离为【答案】333h3.

三、解答题

3.（2012·湖北高考文科·Ｔ19）

某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2. （1）

证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；

（2）

现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？

【解题指南】本题主要考查空间中的垂直关系的证明和表面积公式,解答本题的关键是利用空间几何体的特征，结合空间想象能力，利用线线垂直达到线面垂- 2 -

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直,再结合题意求出表面积得结果. 【解析】四棱柱ABCD-A2B2C2D2侧面是全等的矩形, AA2AB, AA2AD.又ABAD=A. AA2平面ABCD. 连接BD, BD平面ABCD, AA2BD. 根据棱台的定义知,BD与B1D1共面.又已知平面ABCD//平面A1B1C1D1,且平面ABCD平面BB1D1D=BD, 平面BB1D1D平面A1B1C1D1= B1D1. 所以 BD// B1D1,于是由AA2BD, ACBD, BD// B1D1,可得AA2 B1D1, AC B1D1. 又AA2AC=A,所以直线B1D1⊥平面ACC2A2；

(2)由于四棱柱ABCD-A2B2C2D2底面是正方形,侧面是全等的矩形.所以

S1=S四棱柱ABCDABCD上底面S四棱柱ABCDABCD的侧面=(A2B2)2+4ABAA2=102+41030

222222221 300(cm2). 又四棱台A1B1C1D1-ABCD上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以S2=S四棱台ABCDABCD的下底面S四棱台ABCDABCD的侧面=(A1B1)2+4（AB+ A1B1）h÷2=202+2(10+20) 1111111112132[(2010)]21 120(cm). 2所以S= S1+ S2=2 420(cm2). 故需加工处理费2 420×0.2=484（元）. 4.（2012·陕西高考理科·Ｔ18）

（Ⅰ）如图，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线（b不垂直于），c是直线b在上的投影，若ab，则ac”为真. （Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

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【解析】（Ⅰ）（证法一）

如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a,b,c,n的方向向量分别是a,b,c,n，则b,c,n共面，

根据平面向量基本定理，

存在实数,使得cbn，则aca(bn)(ab)(an)，

因为ab，所以ab0，又因为a辬故ac0，从而ac，即ac. （证法二）如图，记c垂足为O,则Oc. bA,Pn，n，所以nan0，

为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，

n∵PO⊥π，a辬，∴直线PO⊥a，

又ab，bÜ平面PAO，PObP，

∴a⊥平面PAO，又c躠平面PAO，∴ac. （Ⅱ）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若ac，则ab. 逆命题为真命题. 5.（2012·浙江高考文科·Ｔ20）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=2.AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点.

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1 EF∥A1D1；

（1）证明：○2 BA1⊥平面B1C1EF；

○（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值. 【解题指南】考查线面间的位置关系，同时要注意棱柱性质的运用. 1由AD∥BC，BC∥BC可得AD∥BC，

【解析】（1）○1111又B1C1平面AA1D1D，AD平面AA1D1D

所以B1C1∥平面AA1D1D

又平面B1C1E平面AA1D1D=EF, 所以B1C1∥EF,又A1D1∥B1C1，所以EF∥A1D1 2在RtFAB和RtABB中○1111FA1A1B11

A1B1BB12所以RtFA1B1RtA1B1B，

∴A1FB1BA1B1

∵A1FB1A1B1F90

∴BA1B1A1B1F90

∴BA1B1F

由AD⊥AB可得BC11A1B1，又B1C1BB1

∴B1C1面A1B1BA,又BA1面A1B1BA，可得BA1B1C1，又BA1B1F，且B1FBC11B1

∴BA1⊥平面B1C1EF. (2) 设A1BB1F=O,连结C1O.由（1）可知BC1与平面B1C1EF所成的角为BC1O

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在RtA1B1B中，BB12BOBA1,即22=BO6解得BO=4BO30∴sinBC1O

6BC125154

6∴BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值为30. 156.（2012·北京高考文科·Ｔ16）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2. A A1 D F C B C E D F 图2 E B 图1

（1）

求证：DE∥平面A1CB；

（2）

求证：A1F⊥BE；

（3）

线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由. 【解题指南】折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化.第（1）问证明线面平行，可以证明DE//BC；第（2）问证明线线垂直转化为证明线面垂直即证明A1F⊥平面BCDE；第（3）问取A1B中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ. 【解析】（1）D,E分别是AC，AB的中点，DE//BC，

又∴DE//平面A1BC. - 6 -

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1中点P，连结DP，PQ，QE.则PQ//BC，PQ//DE. （3）取A1B中点Q，AC由（2）知

又∵PQ⊥A1C.∵A1D=DC ∴△A1DC是等腰三角形. DEAC1. 又∵点P为A1C的中点，∴A1C⊥PD. 即A1C⊥平面DEQ. 7.（2012·江苏高考·Ｔ16）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，EF为B1C1的中点．

CC1上的点（点D 不同于点C）分别是棱BC，，且ADDE，A1

AB1 F

C1

E

B

D

C

求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；

（2）直线A1F//平面ADE．

【解题指南】（1）关键在平面ADE与平面BCC1B1中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直. - 7 -

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（2）关键在平面ADE内找一条直线与直线A1F平行. CC1上的点（点D 不同于点C）【解析】（1）D，E分别是棱BC，，且ADDE，

又因三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以有BB1平面ADC，即有ADBB1

又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交，

所以AD平面BCC1B1

又AD平面ADE

所以平面ADE平面BCC1B1. （2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，所以有ABAC

又由（1）知AD平面BCC1B1

所以ADBC

所以D为边BC上的中点，

连接DF得AA1FD为平行四边形，故A1F//AD

又AD平面ADE，A1F平面ADE,

所以直线A1F//平面ADE．

8.（2012·福建高考文科·Ｔ19）

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点．

（Ⅰ）求三棱锥A-MCC1的体积；

（Ⅱ）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．

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【解析】（Ⅰ）连接AM,AC,AC1,C1M,CM

11D1知，AD平面CDD1C1，

由长方体ABCDA1BC∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD1，

又SMCC111CC1CD21122，

（Ⅱ）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90展开，与侧面ADD1A1共面，

当A1,M,C共线时，A1MMC取得最小值．

由ADCD1，AA12得M为DD1中点，

连接B1M,在C1MC中，MC12，MC2，CC12，

∴CC12=MC12+MC2,得∠CMC1=90°，即CM⊥MC1. 11D1知，B1C1平面CDD1C1，

又由长方体ABCDA1BC∴B1C1CM，

C1MC1，∴CM平面B1C1M，得CMB1M；

11又BC同理可证，B1MAM，

又AMMCM；∴B1M平面MAC．

9.（2012·广东高考文科·Ｔ18）

如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD,AB//CD,PDAD,E是PB的中点，F是CD上的点，且DF1AB2,PH为PAD中AD边上的高. - 9 -

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（1）证明：PH平面ABCD；

（2）若PH1，AD2，FC1，求三棱锥EBCF的体积；

（3）证明：EF平面PAB. 【解题指南】（1）证明线面垂直利用判定定理需证线线垂直，本题易证：ABPH,PHAD.(2)由E是PB的中点知，V三棱锥E-BCF=V三棱锥P-BCF,由（1）知，PH12为三棱锥P-BCF的高，V三棱锥P-BCF可求.(3)解决本题的第一个难点是证ABEF,通过取AB的中点M，证AB平面EFM即可.第二个难点是证EFPB，需证PFBF，进一步需证：RtFMBRtPDF即可. 【解析】(1)AB平面PAD,PH平面PAD, ABPH,又PHAD且ADABA

PH平面ABCD. 11112V三棱锥EBCFV三棱锥PBCF121223212. （2）(3)连接PF，HF，取AB的中点M，连接FM，EM，因为E为PB的中点，所以EM//PA, 四边形DFMA为平行四边形，所以FM//AD,又因为AB平面PAD,所以ABAD,ABPA,

所以ABFM,ABEM,且EMFMM,所以AB平面EFM,所以ABEF. - 10 -

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又因为CD//AB,所以CD平面PAD,CDPD，所以RtFMBRtPDF, 所以PFBF，又因为E为PB的中点，所以EFPB,又PBABB，

所以EF平面PAB. 10.（2012·山东高考文科·Ｔ19）如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CBCD,ECBD.

(Ⅰ)求证：BEDE；

(Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，

求证：DM∥平面BEC. 【解题指南】（1）先取BD中点O，连接OC，OE；证明OE是BD的垂直平分线即可.（2）本题考查线面的平行关系，可取AB中点N，连接

平面MND∥平面BEC来证. 【解析】(I)设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD，

利用又已知CEBD，CO∩CE=C,所以BD平面OCE. 所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线，

所以BEDE. (II)取AB中点N，连接∵M是AE的中点，∴MN∥BE，

∵△ABD是等边三角形，∴DNAB. - 11 -

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由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，

所以ND∥BC，又∵MN∩DN=N,BE∩BC=B, 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. 11.（2012·安徽高考理科·Ｔ18）

BC2,BB14，ABAC2，11C如图1所示，平面图形ABB1AC其中BB1C1C是矩形，A1B1AC1C1折叠，115.现将该平面图形分别沿BC和B使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A,A1B,A1C,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.

（Ⅰ）证明：AA1BC； （Ⅱ）求AA1的长；

（Ⅲ）求二面角ABCA1的余弦值. 1,AO11

【解析】（I）取BC,B1C1的中点为点O,O1，连接AO,OO1,AO 则ABACAOBC，面ABC面BB1C1CAO面BB1C1C

11面BB1C1C

得：AO//AO11A,O,A1,O1共面

同理：AO又OO1BC,OO1AOOBC面

OD//OAAD//OO11DOA 得：111到D，使O（Ⅱ）延长AO

1C1COO1面A11面BB1B1C1AD面A1B1C1,在

OO1BC，面A1BCRt△AA1D中，

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BCAOA1是二面角ABCA1的平面角

1（Ⅲ）AOBC,AO2222AOOOAO4225RtOOA111111中， 在

2AO2AOAA1251cosAOA12AOAO5

1 在RtOAA1中， 得：二面角ABCA1的余弦值为12.（2012·安徽高考文科·Ｔ19）

55. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点.

（Ⅰ）证明：BDEC1

；

（Ⅱ）如果AB=2，AE=2，OEEC1,，求AA1

的长. 11得【解题指南】（1）通过线面垂直证明线线垂直；（2）OEEC1OAEEAC到对应的线段成比例，进而求得AA1的长. 【解析】（I）连接AC，AE//CC1E,A,C,C1共面

长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形

ACBD,EABD,ACEAABD面EACC1BDEC1. 11

（Ⅱ）连接A1C1，在矩形ACC1A1中，OEEC1OAEEAC- 13 -

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得：

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