3.1.2 导数的概念优秀教案内容

题目

变化率与导数、导数的运算

1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.

考试

说明

3.能根据导数定义求函数yc（c为常数）,yx,y1,yx2,yx3,yx的导数. x4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,并了解复合函数求导法则,能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数. 1.变化率与导数

(1)平均变化率:

概念

几何

意义

物理

意义

(2)导数:

=点x0处

概念

区间

(a,b)

f'(x0)或y',即f'(x0)===

,我们称它为函数y=f(x)在

处的导数,记为对于函数y=f(x),=叫作函数y=f(x)从x1到x2的

变化率 函数y=f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的

若函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则度 就是该质点在[x1,x2]上的

速当x∈(a,b)时,f'(x)=

叫作函数在区间(a,b)内的导数 几何

函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是函数图像在该点处切线的

.曲线y=f(x)在点意义

(x0,f(x0))处的切线方程是

物理

函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的

意义

速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的

方程

2.导数的运算

原函数

常数函数

幂函数

常用

导数

公式

三角函数

指数函数

对数

函数

导函数

C'=0(C为常数)

n(x)'=

(n∈Z)

特例或推广

'=-

偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数

xx(e)'=e

(sin x)'=

,

(cos x)'=

x(a)'=

(a>0且a≠1)

(ln x)'=,

(logax)'=

(a>0且a≠1)

(ln|x|)'=

'=

加减

四则

运算

法则

g(x)]'=

[f(x)±f'i(x) 乘法

除法

[f(x)·g(x)]'=

'=

(g(x)≠0)

[Cf(x)]'=Cf'(x) '=-

题组一

常识题

1.

判断下列结论是否正确(打“√”或“×”) ⑴

fx0是函数yfx在xx0附近的平均变化率; ⑵

曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点; ⑶

与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线; ⑷

函数⑸

若fxsinx的导数是,则fxcosx;

fxa32axx2fx3a22x2. [教材改编]

向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为

.

3.[教材改编]

y=sin(πx+φ)的导数是y'=

.

4.[教材改编]

曲线题组二

常错题

5.函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为

,在x=2处的导数为

.

6.已知函数y=sin 2x,则y'=

.

7.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)=

.

【探究点一】探究点一

导数的运算

21

(1)函数f(x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x)=x+3xf'(2)-ln x,则f'(2)的值为

yxex在点(1,1)处切线的斜率等于

.

(

)

A.

B.-C.

D.-

(2)已知f(x)=-sin ,则f'=

.

[总结反思]

(1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.

(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.

式题

(1)函数y=

的导数为y'=

.

(2)已知f(x)=(x+1)(x+2)(x+a),若f'(-1)=2,则f'(1)=

.

探究点二

导数的几何意义

考向1

求切线方程

x2

函数f(x)=e·sin x的图像在点(0,f(0))处的切线方程是

.

[总结反思]

(1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别.

考向2

求切点坐标

x-x3

设a∈R,函数f(x)=e+a·e的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为

A.ln 2 (

)

D.-

B.-ln 2C.

[总结反思]

f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标.

考向3

求参数的值

224

已知曲线C在动点P(a,a+2a)与动点Q(b,b+2b)(a

(

)

A.1 B.2 C.

D.-

[总结反思]

(1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.

(2)注意:①曲线上横坐标的取值范围;②切点既在切线上又在曲线上.

强化演练

1.【考向1】

已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为

A.x+y-1=0 B.x-y-1=0C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 (

)

(

)

32.【考向3】直线y=kx+1与曲线y=x+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于

A.2 B.-1 C.1 D.-2 3.【考向2】已知在平面直角坐标系中,f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,则a=

(

)

A.1 B.e C.

D.0 4.【考向2】若曲线y=xln x在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是

.

x5.【考向1】

函数f(x)=xe的图像在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为

. 1.设曲线y=ax-ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=

(

) A.0

2.曲线

2

B.1

C.2

D.3 1在点(1,2)处的切线方程为

.

yxx3.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)ln(x)3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是

. 4.已知函数1,当a=

时,x轴为曲线y=f(x)的切线.

f(x)xax435.设函数bex1,曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b.

f(x)aelnxxx6.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b=

.

7已知函数1,求f(x)的导函数.

f(x)(x2x1)e(x)2x8在直角坐标系xOy中,曲线C:x2与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.当k=0时,分别求C在点M和N处的y4切线方程.

9若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是

(

) A.y=sin x

B.y=ln x

C.y=ex

D.y=x3

10.设直线l1,l2分别是函数lnx,0x1图像上点f(x)lnx,x1(

) P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是

A.(0,1)

B.(0,2)

C.(0,+∞)

D.(1,+∞)