3.1.3 空间向量的数量积运算精品学案

一、教学内容解析

向量兼具“数”和“形”的双重形态，是沟通代数和几何的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，是解决三维空间中图形位置关系与度量问题的有效工具. 空间向量的数量积运算，是人教社A版《数学2-1》中继空间向量的加减运算、数乘运算之后的又一种运算，是平面向量运算向空间推广的一个实例.在平面向量的夹角、长度概念和数量积定义的基础上，通过类比的方式，得出空间向量数量积的相关概念、运算律，并举例说明了空间向量数量积运算在处理立体几何中垂直关系中的重要作用，充分体现了数学的应用价值. 做好“类比”、抓住“本质”、学会“方法”、奠定“基础”是本节课的教学主线.通过类比发现“任意两个空间向量都是共面的”，抓住本质确定“空间任意两个向量的数量积本质上就是平面向量的数量积”；基于空间向量的数量积运算，学会用数量积解决垂直问题的方法，体会化归转化与数形结合思想另外，本节课内容为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定了重要基础. 二、教学目标设置

教学指导意见对本节内容的要求是：理解空间向量的长度和夹角的意义；理解空间向量的数量积的意义及其运算律；能利用空间向量的运算解决直线和直线垂直、直线和平面垂直、两点间距离或线段长度等相关问题结合教学实际，制定教学目标如下：

（1）通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出明确的认识：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算. （2）经历例1、2的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间中线线、线面垂直问题.

（3）在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力. 三、学生学情分析

学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已感受空间向量与平面向量之间的内在联系，体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算由于空间任意两个向量必共面，因此空间向量在本质上与平面向量是一致的.同时学生在平面向量的学习中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提，即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积的概念和计算方法、运算律. 空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破. 数量积在解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直等问题的过程中，学生对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素可能困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的关键. 基于教学内容和学情分析，本节课的重点和难点确定如下：

重点：通过类比归纳得出空间向量数量积的概念及运算，能利用数量积运算解决空间垂直问题. 难点：理解空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示线线、线面垂直，并深刻体会“没有运算的向量只能起到路标作用，有了向量的运算力量无穷”. 四、教学策略分析

（一）本节课的框架设计

为了实现教学目标，我按照以下框架安排本节课的教学：

环节1：问题引入，提出概念；

环节2：自主探究，交流分享；

环节3：例题赏析，感悟“运算”；

环节4：归纳总结，作业巩固. （二）对教学方法和手段的分析

本节课的教学主线是：做好“类比”、抓住“本质”、学会“方法”、奠定“基础”教学过程中，充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，凸显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式.通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径，让学生“动起来”，让课堂“活起来”.在概念、运算律的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳；在例题赏析中，注重引导学生建立“已知”与“待求”间的“关联”.借助向量工具适时转化难点，设置问题串适时突破难点，注重渗透数形结合、化归转化的数学思想通过课堂小结与感悟，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情，进一步增强教师引领的辐射作用. 五、[教学过程]

一、回顾旧知、引入新课

(回顾平面向量的数量积的相关知识:) 1.平面向量的数量积定义: 向量形式 ab|a||b|cos（0）

坐标形式 若a{x1,y1},b{x2,y2} , 则abx1x2y1y2

2.平面向量的夹角公式: 若a与b是平面两非零向量,它们的夹角为,则

cosab|a||b|x1x2y1y2xy2121xy2222

3.平面向量的性质: 两非零向量a与b垂直的充要条件是: abab0x1x2y1y20

两非零向量a与b平行的充要条件是: a//bab|a||b|bka

二、类比探究、获取新知

1.空间向量的数量积定义:

向量形式 ab|a||b|cos（0）

坐标形式 若a{x1,y1,z1},b{x2,y2,z2},则abx1x2y1y2z1z2

2.空间向量的夹角公式: 若a与b是空间两非零向量,它们的夹角为,则

cosab|a||b|x1x2y1y2z1z2xyz212121xyz222222

3.空间向量的性质: 两非零向量a与b垂直的充要条件是: abab0x1x2y1y2z1z20

两非零向量a与b平行的充要条件是: a//bab|a||b|bka

三、回味建构、应用拓展

(课堂讨论,共同探究)

问题驱动:向量融数形于一体,具有代数形式和几何形式的双重身份,那么它除了在平面几何中的应用外,还可以帮助我们解决哪些立体几何的问题呢? 应用之一: 处理角的问题(重点) 问题:在边长为2的正方体中,AC交B0于E,G为CC1的中点, 求:1.异面直线A1E与BC1所成角; 2.异面直线A1E与BG所成角.(由学生完成) 解1:如图,建立适当的空间直角坐标系,得相关点的坐标: A1(2,0,2),E(1,1,0),B(2,2,0),C1(0,2,2) A

O

E O1 B1 C1 A1 G C

B

则A1E={-1,1,-2},BC1={-2,0,2}.|A1E|6,|BC1|22. 设A1E与BC1所成角为,则cos3. 6A1EBC1|A1E||BC1|33arccos

66即A1E与BC1所成角为arccos应用之二: 处理垂直问题

问题:已知条件不变,求证:A1E⊥平面OGB. (此题结论可在题1的基础上得到.) 应用之三: 处理平行问题

问题:在正方体中ABCD-A1B1C1D1中,Q是AB的中点,P是BC的中点. 求证：PQ//平面A1BC1

O

P O1 A1 B1 C1 C

Q A

B

(通过证明PQ与A1C1平行,从而证明线面平行) 练习(由学生举例) 四、小结内容、练习实践

1.从平面向量数量积的定义、性质推广得到有关空间向量数量积的定义、性质(类比思想); 2.向量数量积解决几何问题有两种方式；

3.向量数量积为解决立体几何中平行、垂直及有关角度等问题提供了一种新的方法；

4.体现了几何问题代数化,即代数方法解决几何问题(数形结合思想). 课外练习: 1.若A(m+1,

n-1, 3),B(2m ,

n, m-2n), C(m+3,

n-3 ,9)三点共线,则m+n= . 2.直三棱柱中ABC-A1B1C1,∠ACB=90o,且BC=AC=CC1=2,求异面直线A1B与AC1所成角的大小。