3.1.2 空间向量的数乘运算优质公开课教案

3.1.2空间向量的数乘运算

教学目标：

1.知识与技能：

了解空间向量基本定理及其推论，理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示。

2.过程与方法：

通过分析、推导让学生理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出示。

3.情感态度与价值观：

通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。

教学重点：共线、共面定理及其应用

教学难点：共线、共面定理及其应用

教学方法：通过观察.类比.思考.交流和讨论等. 教学过程：

活动一：创设情景、引入课题

问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量？空间向量的分类？空间向量的加减运算？

问题2：说说平面向量的数乘运算：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0. 问题3：关于向量的数乘有哪些运算律呢？

(1)λ(μa)=

(λμ)a

(2) (λ+μ)a＝λa+μa

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb

问题4：什么叫平行向量？共线向量？

今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的数乘以及共线的运算率并进行一些简单的应用．

点题：今天我们学习“空间向量的数乘运算”

活动二：师生交流、进入新知

1、数乘：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0. 2、数乘运算律：

(1) 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(2)结合律：λ(μa)=

(λμ)a

3、共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．

问题5：空间中任意两个向量a与b，如果a=λb，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a=λb？

4、共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．

推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB②

11当t时，点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB)③

22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．

5．向量与平面平行：

lPBaA已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

说明：空间任意的两向量都是共面的．

6．共面向量定理：

Oa

a



如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb．

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①

MPxMAyMB上面①式叫做平面MAB的向量表达式．

活动三：合作学习、探究新知

例1．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

解：由题意：5OPOA2OB2OC，

∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，

∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，

所以，点P与A,B,C共面．

说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．

【练习】：（教材88页的思考）对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式122OAOBOC，

555OPxOAyOBzOC

（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP(1zy)OAyOBzOC，

∴OPOAy(OBOA)z(OCOA)，

∴APyABzAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知O

D

A

B

ABCD，从平面AC外一点O引向量

C

OEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面；

（2）平面AC//平面EG．

H

E

G

F

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，

∵EGOGOE，

kOCkOAk(OCOA)kACk(ABAD)k(OBOAODOA)OFOEOHOEEFEH∴E,F,G,H共面；

（2）∵EFOFOEk(OBOA)kAB，又∵EGkAC，

∴EF//AB,EG//AC

所以，平面AC//平面EG．

练习：教材P89：2、3 活动四：归纳整理、提高认识

1．什么叫空间向量的数乘？

2．空间向量的共线（平行）向量？

3．共线（平行）向量的定理与推论分别是什么？

活动五：作业布置、提高巩固

书面作业：教材P97：2