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第三章

导数及其应用

小结

忠信中学

数学科组

杨勇灶

1.对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δyfx0＋Δx－fx0ΔyΔy与自变量的增量Δx的比的极限，即lim

＝lim

. ΔxΔxΔx→0ΔxΔx→0函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率. 2.曲线的切线方程

利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：

(1)判断P点是否在曲线上；

(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0). 3.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键. 4.判断函数的单调性

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；

(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条

件. 5.利用导数研究函数的极值要注意

(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的. (2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小. (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号. 6.求函数的最大值与最小值

(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1). (2)求函数最值的步骤

一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 7.应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是函数的最值.

题型一

导数几何意义的应用

导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1).①

又已知y1＝f(x1)②

由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程. 切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等. 例1

已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R). (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值. a解

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－. x

2(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0),

x∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,

∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为

y－1＝－(x－1), 即x＋y－2＝0. ax－a(2)由f′(x)＝1－＝，x>0. xx①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;

∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0

∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值. 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值. 反思与感悟

利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由y0－y1＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一类类型. x0－x1跟踪训练1

已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m∶y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值；

(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由. 解

(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，

所以3a－6－6a＝0，得a＝－2. (2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程. 设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，又因为g′(x0)＝6x0＋6，

2所以切线方程为y－(3x0＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0). 22将点(0,9)代入，得9－3x0－6x0－12＝－6x0－6x0，

2所以3x0－3＝0，得x0＝±1. 当x0＝1时，g′(1)＝12，g(x)＝21，切点坐标为(1,21)，

所以切线方程为y＝12x＋9；

当x0＝－1时，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切点坐标为(－1,9)，

所以切线方程为y＝9. 下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：

因为f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，

所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12. 由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，

解得x＝0或x＝1. 当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；

当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10. 所以y＝12x＋9不是公切线. 由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，

解得x＝－1或x＝2. 当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；

当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，

所以y＝9是公切线. 综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.

题型二

应用导数求函数的单调区间

在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减. 2例2

已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性. x解

由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，

22ax－ax＋2f′(x)＝1＋2－＝. xxx2设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8. ①当Δ＜0即0＜a＜22时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数. ②当Δ＝0即a＝22时，仅对x＝2，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数. a－a2－8a＋a2－8③当Δ＞0即a＞22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，022＜x1＜x2. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x f′(x)

(0，x1)

＋

x1

0

(x1，x2)

－

x2

0

(x2，＋∞) ＋

f(x)

↗

极大值

↘

极小值

↗

a－a2－8此时f(x)在0，上单调递增，

2a－a2－8a＋a2－8在上单调递减，

，22a＋a2－8在，＋∞上单调递增. 2反思与感悟

求解函数y＝f(x)单调区间的步骤：

(1)确定函数y＝f(x)的定义域；

(2)求导数y′＝f′(x)；

(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为增区间；

(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为减区间. 特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接. 跟踪训练2

设函数f(x)＝ln x－x＋1. (1)讨论f(x)的单调性；

x－1(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1<

ln x(3)设c>1，证明：当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx. 1(1)解

由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0解得x＝1. x当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

(2)证明

由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0. 所以当x≠1时，ln x

由题设c>1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，

c－1lnln c则g′(x)＝c－1－cxln c，令g′(x)＝0.解得x0＝. ln c当x0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．

c－1由(2)知1<0. ln c所以当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx.

题型三

利用导数求函数的极值和最值

1.利用导数求函数极值的一般步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)解方程f′(x)＝0的根；

(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号. 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；

若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；

否则，此根不是f(x)的极值点. 2.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤

(1)求f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值. 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，

这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞). 2例3

已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝时取极3大值. (1)求函数y＝f(x)在x＝－2时对应的切线方程；

(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值. 解

(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，

2又因为当x＝－1，x＝时，函数分别取得极小值、极大值，

32所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根. 322b2所以a＝－1＋，－＝(－1)×. 333311于是a＝－，b＝2，则f(x)＝－x3－x2＋2x. 22当x＝－2时，f(－2)＝2，即切点为(－2,2). 又因为切线斜率k＝f′(－2)＝－8，

所以，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，

即8x＋y＋14＝0. (2)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x)

－2

(－2，－1) －

－1

0

2(－1，)

3＋

2

30

2(，1)

3－

1

f(x)

2

单调递减↘

3－

2单调递增↗

22

27单调递减↘

1

23因此，f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－. 21跟踪训练3

已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)，

2(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；

(2)求f(x)的单调区间；

12(3)求证：当x>1时，x2＋ln x

f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－＝x2xx＋2x－2，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，xf′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4. 2ax－a(2)解

因为f′(x)＝x－＝，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞). xx2ax－ax＋ax－a当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝，所以函数f(x)的单调递增区间(a，＋∞)；xxx递减区间为(0，a). 211(3)证明

设g(x)＝x3－x2－ln x，则g′(x)＝2x2－x－，因为当x＞1时，g′(x)＝32xx－12x2＋x＋11＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上为增函数，所以g(x)＞g(1)＝＞0，所以当x612x＞1时，x2＋ln x＜x3. 23

题型四

导数与函数、不等式的综合应用

利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强. 1e例4

设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－x，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．

xe(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当x>1时，g(x)>0；

(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立．

212ax－1(1)解

f′(x)＝2ax－＝(x>0)．

xx当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．

当a>0时，由f′(x)＝0有x＝当x∈0，1. 2a1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

2a当x∈1，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

2a－－(2)证明

令s(x)＝ex1－x，则s′(x)＝ex1－1. 当x>1时，s′(x)>0，所以ex1>x，

－11从而g(x)＝－x－1>0. xe(3)解

由(2)知，当x>1时，g(x)>0. 当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－ln x<0，

故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0. 11当01，

22a由(1)有f110. 2a2a所以f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立；

111111－当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)，当x>1时，h′(x)＝2ax－＋2－e1x>x－＋2－＝2xxxxxx3－2x＋1x2－2x＋1>>0. x2x2因此，h(x)在区间(1，＋∞)单调递增．

又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立．

1，＋∞. 综上，a∈211116跟踪训练4

证明：当x∈[－2,1]时，－≤x3－4x≤. 3331证明

令f(x)＝x3－4x，x∈[－2,1]，

3则f′(x)＝x2－4. 因为x∈[－2,1]，所以f′(x)≤0，

即函数f(x)在区间[－2,1]上单调递减. 16故函数f(x)在区间[－2,1]上的最大值为f(－2)＝，

3

11最小值为f(1)＝－. 31116所以，当x∈[－2,1]时，－≤f(x)≤，

3311116即－≤x3－4x≤成立. 333

1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围.这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围. 2.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可.