3.4 生活中的优化问题举例教学设计内容推荐

生活中的优化问题

教学目标

1、了解优化问题的含义，通过优化问题的实例，体会导

数在解决实际问题中的作用。

2、掌握解决优化问题的基本方法。

3、能利用导数解决生活中一些简单的优化问题。

4、优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所体现，既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档．

知识概述

函数的单调性与导函数值的关系

若函数f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0. f′(x)＞0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递增；

f′(x)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递减．

反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增⇒f′(x)≥0；函数f(x)在(a，b)上单调递减⇒f′(x)≤0.即f′(x)＞0(f′(x)＜0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件．

特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．

方法概述

1．求函数的极值的方法

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．

(2)求方程f′(x)＝0的根．

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根1

处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．

2．求函数的最值的方法

(1)求f(x)在(a，b)内的极值．

(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．

3. 利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法

(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．

(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．

(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，

根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．

需要注意的问题

1．导数与函数单调性、极值的关系

(1)f′(x)>0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．

(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

2．利用导数求函数极值应注意三点

(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；

(2)f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；

(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．

解答思路

2

[典例剖析]

例1、某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π

元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

[解]

(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，

底面的总成本为160πr2元，

所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．

1又据题意知200πrh＋160πr＝12 000π，所以h＝5r(300－4r2)，

2π从而V(r)＝πrh＝5(300r－4r3)．

2因为r＞0，又由h＞0可得r＜53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．

ππ3(2)因为V(r)＝5(300r－4r)，所以V′(r)＝5(300－12r2)．

令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．

当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；

当r∈(5,53)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,53)上为减函数．

由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8. 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大

例2.一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，3

问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？

解：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，

333则Q＝kx，由6＝k×10，可得k＝500.∴Q＝500x. 333313296∴总费用y＝500x＋96·＝x＋x. x5006x96∵y′＝500－x2.令y′＝0，得x＝20. ∴当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，

当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．

∴当x＝20时，y取得最小值，

∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．

例3、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)a与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

a【解析】

(1)因为x＝5时，y＝11，所以2＋10＝11，a＝2.

2(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.

x－3所以商场每日销售该商品所获得的利润为

2f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3

x－3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

4

x f′(x)

(3，4) ＋

4 0 (4，6) －

f(x) 单调递增

极大值42 单调递减

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

例4、一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)．

(1)求V关于θ的函数表达式；

(2)求θ的值，使体积V最大；

(3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．

2cosθ＋2【解析】

(1)梯形ABCD的面积S梯形ABCD＝·sinθ＝sinθcosθ＋sin2πθ，θ∈(0，2)．

π体积V(θ)＝10(sinθcosθ＋sinθ)，θ∈(0，2)．

(2)V′(θ)＝10(2cos2θ＋cosθ－1)

＝10(2cosθ－1)(cosθ＋1)．

1令V′(θ)＝0，得cosθ＝2或cosθ＝－1(舍)．

ππ∵θ∈(0，2)，∴θ＝3.

π1当θ∈(0，3)时，20，V(θ)为增函数；

5

ππ1当θ∈(3，2)时，0

π∴当θ＝3时，体积V最大．

(3)木梁的侧面积

θπS侧＝(AB＋2BC＋CD)·10＝20(cosθ＋2sin2＋1)，θ∈(0，2)．

θπS＝2S梯形ABCD＋S侧＝2(sinθcosθ＋sinθ)＋20(cosθ＋2sin2＋1)，θ∈(0，2)．

θπ设g(θ)＝cosθ＋2sin2＋1，θ∈(0，2)．

θθ∵g(θ)＝－2sin22＋2sin2＋2，

θ1π∴当sin2＝2，即θ＝3时，g(θ)最大．

π又由(2)知θ＝3时，sinθcosθ＋sinθ取得最大值，

π∴θ＝3时，木梁的表面积S最大．

综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．

练习：书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分________次进货、每次进__________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．

解析：设每次进书x千册(0＜x＜150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书x150x均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即2，故有y＝x×30＋2×40，

20x＋15x－154 500y′＝－x2＋20＝，

x2∴当0＜x＜15时，y′＜0，当15＜x＜150时，y′＞0. 故当x＝15时，y取得最小值，

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150此时进货次数为15＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少．

小结：

1、生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案．

2、利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法

(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．

(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．

(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．

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