习题1.3教学设计

1.3 且、或、非习题课

学习目标：1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．“且”

(1)定义

一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．

(2)真假判断

当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．

2．“或”

(1)定义

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”．

(2)真假判断

当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．

思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？

(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？

[提示] (1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．

(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．

3．“非”

(1)定义

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作﹁p，读作“非p”或“p的否定”．

(2)真假判断

若p是真命题，则﹁p必是假命题；若p是假命题，则﹁p必是真命题．

思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？

[提示] (1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．

(2)命题的否定(非p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．

4．复合命题：

用逻辑联结词“且”；“或”；“非”把命题p和命题q联结来的命题称为复合命题．

复合命题的真假判断

p 真

真

假

假

q 真

假

真

假

p∨q 真

真

真

假

p∧q 真

假

假

假

﹁p

假

假

真

真

[基础自测] 1．思考辨析

(1)若p∧q为真，则p，q中有一个为真即可．( ) (2)若命题p为假，则p∧q一定为假．( ) (3)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．( ) (4)“梯形的对角线相等且互相平分”是“p∨q”形式的命题．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

2．“xy≠0”是指( ) A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0 C．x，y至少一个不为0 D．x，y不都是0 A [xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选A.] 3．已知p，q是两个命题，若“(﹁p)∨q”是假命题，则( ) A．p，q都是假命题

B．p，q都是真命题

C．p是假命题，q是真命题

D．p是真命题，q是假命题

D [若(﹁p)∨q为假命题，则﹁p，q都是假命题，即p真q假，故选D.] [合

作

探

究·攻

重

难] 含有逻辑联结词的命题结构

指出下列命题的形式及构成它的简单命题．

(1)方程x2－3＝0没有有理根；

(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；

(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．

[解] (1)这个命题是“非p”形式的命题，其中

p：方程x2－3＝0有有理根．

(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．

(3)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程

x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．

[规律方法] 1.判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．

2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．

[跟踪训练] 1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“﹁p”形式的命题．

(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；

(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解. [解] (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

﹁p：梯形没有一组对边平行．

(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

﹁p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解. 含逻辑联结词命题的真假判断

已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)4＝x＋x的最小值为4.给出下列命题：

①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨(﹁q)．

则其中真命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [思路探究] →→

[解析] 由于Δ＝(－2a)2－4×1×(－1)＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x<0时，f(x)＝x＋x<0，所以命题4q为假命题，所以p∨q，p∧(﹁q)，(﹁p)∨(﹁q)是真命题，故选C．

[答案] C [规律方法] 含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤

(1)我们可以用口诀记忆法来记忆：

“p且q”全真才真，一假必假；“p或q”全假才假，一真必真；“非p”与p真假相对．

(2)判断复合命题真假的步骤：

①确定复合命题的构成形式是“p且q”“p或q”还是“﹁p”；

②判断其中的简单命题p，q的真假；

③根据真值表判断复合命题的真假．

[跟踪训练] 2．(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨q中，真命题是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

C

[由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③﹁q为真命题，则p∧(﹁q)为真命题，④﹁p为假命

题，则(﹁p)∨q为假命题．] (2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命题的真假. (1)p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；

(2)p：2是奇数，q：2是合数；

(3)p：4≥4，q：23不是偶数；

(4)p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－25或x<－2}．

[解] (1)∵p是假命题，q是真命题，

∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是真命题．

(2)∵p是假命题，q是假命题，

∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，﹁p是真命题．

(3)∵p是真命题，q是真命题，

∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，﹁p是假命题．

(4)∵p是真命题，q是假命题，

∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，﹁p是假命题. ﹁由复合命题的真假求参数的取值范围

[探究问题] 1．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？

提示：p为假命题时，参数的取值范围是∁RA. 2．设集合M、N分别是p，q分别为真命题时参数的取值范围，则p∨q与p∧q分别为真命题时参数的取值范围分别是什么？

提示：当p∨q为真命题时，参数的取值范围是A∪B. 当p∧q为真命题时，参数的取值范围是A∩B.

已知p：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：关于x的方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．

分别求当p、q为的真假分析p、q得出m[思路探究] 真时m的范围→的真假→的范围

m2－4>0，[解] 当x＋mx＋1＝0有两个不相等的负根为真时，－m<0，解之得m>2，

2当4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根为真时，16(m－2)2－16<0，解之得1

若p真q假，则m≥3或m≤1，所以m≥3. 若p假q真，则1

[解] 由例题知，当p为真时，

m>2，当q为真时11，

当p∧q为真命题时，21(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q改为“函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R”．其他不变，试求a的取值范围．

[解] 根据关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集为{x|x<0}知00的解集为R，则a>011－4a2<0解得a>2. m≤2，m>2，因为p∨q为真命题，p∧q为假命题．

所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”．

11故2或.

解得01. 所以，a的取值范围是2∪(1，＋∞)．

[规律方法] 根据命题的真假求参数范围的步骤

(1)求出p、q均为真时参数的取值范围；

(2)根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假；

11

(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围. [当

堂

达

标·固

双

基] 1．若命题“p∧q”为假，且﹁p为假，则( ) A．p∨q为假 B．q假

C．q真

D．p假

B [由﹁p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假，故选B.] 2．给出下列命题：

①2>1或1>3；

②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；

③25是6或5的倍数；

④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．

其中真命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 D [对于①，是“或”命题，且2>1是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝20>0，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A∩B是A的子集，也是A∪B的子集．故④是真命题，故选D.] 3．已知命题：

p：对任意x∈R，总有2x>0；

q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．

则下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．﹁p∧﹁q

C．p∧q

D．p∧q

D [因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、﹁p为假命题，﹁q为真命题，﹁p∧﹁q、﹁p∧q为假命题，p∧﹁q为真命题，故选D.] 4．分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式的命题的真假：

﹁﹁

(1)p：点P(1,1)在直线2x＋y－1＝0上，q：直线y＝x过圆x2＋y2＝4的圆心；

(2)p：4∈{2,3,4}，q：不等式x2－x－2＞0的解集为{x|－2＜x＜1}；

(3)p：若a＞b，则2a＞2b，q：若a＞b，则a3＞b3. [解] (1)∵p是假命题，q是真命题，

∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，﹁p为真命题．

(2)∵p是真命题，q是假命题，

∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，﹁p为假命题．

(3)∵p是真命题，q是真命题，

∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，﹁p为假命题．