1.2.1 充要条件优质教案设计

《

充

要

条

件》教学设计

阳城一中：王江波

一、教学目标

1. 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念. 2. 能在判断中正确运用以上概念，并为今后用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础. 二、教学过程

（一）复习引入

师：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）；

2（1）若x1，则x1；

（2）若x2y2，则xy；

（3）全等三角形的面积相等；

（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；

（5）若ab0，则a0；

（6）若方程axbxc0(a0)有两个不等的实数解，则b4ac0. （学生口答，教师板书）

生：（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题. 师：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题。你是如何判断其真假的？

生：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题. 师：很好！对于命题“若p，则q”，如果由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立。换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件，记作pq．

（二）讲授新课

（板书充分条件的定义）一般地，如果已知pq，那么我们就说p是q成立的充分条件. 师：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系. 生：（口答）

（1）“x1”是“x1”成立的充分条件；

（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；

（3）“方程ax2bxc0(a0)的有两个不等的实数解”是“b4ac0.”成立的充分条件. 师：从另一个角度看，如果pq成立，那么其逆否命题pq也成立，即如果没有q，也就没有p，亦即q是p成立的必须要有的条件，也就是必要条件. （板书必要条件的定义）

师：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题. （学生口答）

222（1）因为x1x1，所以x1是x1的充分条件，x1是x1的必要条件；

2222（2）因为xyxy，所以xy是xy的必要条件，xy是xy的充分；

（3）因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

（4）因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；

（5）因为ab0a0，所以ab0是a0的必要条件，a0是ab0的充分条件；

2（6）因为“方程axbxc0(a0)的有两个不等的实根”“b4ac0”，而2且“方程axbxc0(a0)的有两个不等的实根”“b4ac0”，所以“方程22222222ax2bxc0(a0)的有两个不等的实根”是“b24ac0”充分条件，而且是必要

条件. 师：如果p是q的充分条件，p又是q的必要条件，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作pq．

（板书充要条件的定义）

（三）巩固新课

例1（用投影仪投影）

A B A是B的什么条件

B是A的什么条件

y是有理数

y是实数

x5 m、n是奇数

ab

xA且xB

ab0

x3 m＋n是偶数

ab

xAB

a0

(x1)(y2)0

x1,y2

m是4的倍数

m是6的倍数

（学生活动，教师引导学生作出下面回答）

①

因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；

②

x5一定能推出x3，而x3不一定推出x5，所以A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；

③

m、n是奇数，那么m＋n一定是偶数；m＋n是偶数，m、n不一定都是奇数（可能都为偶数），所以A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；

④

ab表示ab或ab，所以ab是ab成立的必要非充分条件；

⑤

由交集的定义可知xA且xB是xAB成立的充要条件；

⑥

由ab0知a0且b0，所以ab0是a0成立的充分非必要条件；

⑦

由(x1)(y2)0知x1或y2，所以(x1)(y2)0是x1,y2成立的必要非充分条件；

⑧

易知“m是4的倍数”是“m是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；

（通过对上述问题的交流、思辨，在争论中得到了正确答案，加深了对充分条件、必要条件的认识.）

例2 已知是的充要条件，S是的必要条件同时又是的充分条件，试判断与的关系.（投影）

师：请同学们把解答写在投影片上. （师巡视后，选错误及正确的解答展示，最后把正确的解答定格.）

解：由已知得 S， 所以是的充分条件，或是的必要条件. (四) 课堂练习

课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第35页

练习1、2；第36页

练习1、2. （通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评.）

（五）小结回授

师：今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础. （六）布置作业

第36页, 习题1.8 1、2、3.