3.2.2 直线的两点式方程优质课教学设计

3.2.2

直线的两点式方程

学习目标

1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围.

2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.

合作学习

一、设计问题、创设情境

问题1:利用点斜式解答如下问题: (1)已知直线l经过两点P1

(1,2),P2

(3,5),求直线l的方程.

(2)已知两点P1

(x1,y1),P2

(x2,y2)其中(x1≠x2,y1≠y2). 求通过这两点的直线方程.

二、信息交流、揭示规律

问题2:同学们用的是什么方法求解的直线方程?体现了什么数学思想?

问题3:

若点P1

(x1,x2),P2

(x2,y2)中有x1=x2,或y1=y2,此时这两点的直线方程是什么?

问题4:两点式适用于怎样的直线?

课堂练习1:课本97页,练习题第1题.

三、运用规律、解决问题

【例1】

已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B (0,b),其中a≠0,b≠0.求直线l的方程.

问题5:

题目中所给的条件有什么特点?可以用哪些方法来求直线l的方程?哪种方法更为简捷?

问题6:方程中的a,b分别有什么几何意义,它们可以为零吗?如果给这个方程起个名字,可以叫什么?

课堂练习2:

课本97页,练习题第2题.

四、变式演练、深化提高

【例2】

已知三角形的三个顶点A(-5,0

),B (3,-3),C (0,2),求BC边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.

问题7:确定一条直线需要几个条件?根据条件对直线BC的约束,可以用什么方法求其方程?那么直线AM呢?点M的坐标确定吗?

课堂练习3:课本97页,练习题第3题.

五、信息交流、教学相长

问题8:两点式方程是根据什么推导出来的?为什么不只用点斜式,而推导两点式呢?两点

式方程的应用范围是直线的斜率存在,且不为零,你能将该方程的形式做适当改变后,使得其应用范围更广吗?

问题9:截距式方程是根据什么推导出来的?只要直线存在横纵截距,就能用截距式求其方程吗?

3.反思小结、观点提炼

问题10:

(1)到目前为止,我们所学过的直线方程的表达形式有多少种?它们之间有什么关系?

(2)要求一条直线的方程,必须知道多少个条件?

参考答案

一、问题1:

根据已知两点的坐标,先判断是否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而可求出直线方程: (1)y - 2 =

(x-1); (2)y - y1

=

-

-

(x-x1).

二、问题2:直线的点斜式方程;化归转化.

问题3:x1=x2时,直线与x轴垂直,所以直线方程为:x=x1;当y1=y2时,直线与y轴垂直,直线方程为:y=y1.

问题4:斜率存在,且不为零.

课堂练习1:解:(1)将两点的坐标代入两点式,得即2x-y-3=0.

(2)

将两点的坐标代入两点式,得

-

-

-

-

-

-

,

-

-

,

-

即x+y-5=0.

[运用规律、解决问题]

三、问题5:给出直线上两点的坐标;可以用点斜式或者两点式;两点式.

【例1】

解:将点A(a,0),B(0,b)代入两点式,得

-

-

-

,即

=1.

-

问题6: a是直线的横截距,b是直线的纵截距;不可以为零,因为它们都在分母上;截距式.

课堂练习2:(1)3x+2y-6=0;(2)6x-5y+30=0.

四、

【例2】

解:

如图,过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为

-

-

-

-

.

-

整理得5x + 3y-6 = 0.这就是BC所在的直线方程.

BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段,由中点坐标公式可得点M的坐标为

( -

),即(,-).

-

过A(-5,0),M(,-)的直线的方程为

-

-

, 整理得x+y+=0,即x+13y+5=0.

这就是BC边上中线所在直线的方程.

问题7:两个;截距式;可以求出点M的坐标后,用两点式;应该确定,因为B,C两点确定.

课堂练习3:(1)由题意,知该直线的纵截距为5,因为两截距之和为2,所以横截距为-3.

所以直线方程为

=1,即5x-3y+15=0.

(2)由题意,知该直线的横截距为5,因为两截距之差为2,所以纵截距为3或7.

所以直线方程为

=1或

=1,即3x+5y-15=0或7x+5y-35=0.

五、信息交流,教学相长

问题8:点斜式;相对于点斜式,两点式更对称、形式更美观、更整齐,便于记忆;去分母即可得到(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),此方程适用于已知任意直线上两点的坐标,求直线方程.

问题9:两点式;不能,截距都为零,即过原点的直线就不存在截距式.

六、反思小结,观点提炼

问题10:(1)四种;斜截式是点斜式的特殊情形,两点式是由点斜式推导出来的,而截距式是两点式的特殊情形,所以点斜式方程是四种直线方程的核心.

(2)必须知道两个条件.

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