1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）优质课教案

空间几何体的表面积和体积

能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积；

用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题．

一、展开图定义

一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图．

二、特殊几何体的定义

1.直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．

2.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．

3.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．

正棱锥的性质：

（1）正棱锥的侧棱相等；

（2）侧面是全等的等腰三角形；

（3）侧棱、高、底面构成直角三角形．

4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台．

正棱台的性质：

（1）正棱棱台的侧棱长相等

（2）侧面是全等的等腰三角形；

（3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形．

三、侧面积与表面积公式

1.

正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式

(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面积计算公式：S直棱柱侧＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．

(2)设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积的计算公式：

S正棱锥侧＝

= .即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．

(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧＝

=

. (4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于底面积与侧面积的和，即S表＝S底＋S侧. 2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式

(1)S圆柱侧＝ (r为底面半径，l为母线长)．

1

(2)S圆锥侧＝

(r为底面圆半径，l为母线长)．

(3)S圆台侧＝

(R、r分别为上、下底面半径，l为母线长)．

(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即S表＝S底＋S侧. (5) 若圆锥底面的半径为r，侧面母线长为l，侧面展开图扇形的圆心角为则，

r360

l3.由球的半径R计算球表面积的公式：S球＝

.即球面面积等于它的大圆面积的4倍．

四、体积

1.长方体的体积：

长方体的长、宽和高分别为a、b、c，长方体的体积V长方体＝abc 2．棱柱和圆柱的体积：

(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh. (2)底面半径是r，高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱＝

. 3．棱锥和圆锥的体积：

(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S，高是h，那么它的体积V锥体＝

Sh. (2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝

.

4．棱台和圆台的体积：

(1)如果台体的上、下底面面积分别为S′、S，高是h，则它的体积是V台体＝

.

(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝

.

5．球的体积：

如果球的半径为R，那么球的体积V球＝

.

6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．

这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．

7.

球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。我们把这个弧长叫做两点的球面距离．

类型一

表面积

例1：

已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是(

) 5A．2

B.

27C．3

D.

2解析：如图，设O1、O分别是正四棱台上、下底面的中心，则OO1是正棱台ABCD－A1B1C1D1的高，E1、E分别是A1D1、AD的中点，连接OE、O1E1，作E1H∥OO1，则E1H＝O1O，由题意2

3＋6EE15得，×4＝9＋36，∴EE1＝. 22259222在Rt△EHE1中，E1H＝EE1－EH＝－＝4，

44∴E1H＝2，∴O1O＝2. 答案：A 练习1：某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(

)

A．32

C．48

答案：B B．16＋162 D．16＋322

练习2：若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是(

) A．3π

B．33π

C．6π

D．9π

答案：A 练习3：球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是(

) ππA.

B.

34πC.

D．π

2答案：C 例2：

用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面面积为(

) 8A．8 B.

π42C. D.

ππ448解析：设围成圆柱的底面半径为r，则2πr＝4，∴2r＝，∴圆柱的轴截面面积为S＝×2＝.πππ2或2πr＝2，∴2r＝，

π∴圆柱的轴截面面积为S＝28×4＝. ππ答案：B 练习1：

某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(

) A．90cm2

B．129cm2 C．132cm2

D．138cm2 答案：D 练习2：已知圆锥的表面积为12πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为(

) 3

A.3cm

B．2cm C．23cm

D．4cm 答案：B 练习3：某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(

) A．90cm2

B．129cm2 C．132cm2

D．138cm2 答案：D 练习4：长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________．

答案：50π

类型二

体积

例3：正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为(

) 11A.

B.

4239C.

D.

44解析：如图，作PO⊥底面ABC，

∵正三角形ABC的边长为3，

∴AO＝3×3＝1，

322∴PO＝PA－AO＝4－1＝3，

1332∴VP－ABC＝××(3)×3＝.

344答案：C 练习1：已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，侧棱长为5，求四棱锥P－ABCD的体积和侧面积．

答案：连接AC、BD，AC与BD的交点为O，取BC的中点E，连接OE、PE、PO，则PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高．

由已知得OE＝3，OA＝32，

∴PO＝PA－OA＝25－18＝7，

22PE＝PO2＋OE2＝7＋9＝4. 11∴四棱锥P－ABCD的体积V＝××6×6×7 32＝67. 1四棱锥P－ABCD的侧面积S＝×6×4×4＝48. 2练习2：某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(

) A．3 B．2 C.3 D．1 4

11答案：D.由三视图可知，该几何体的体积V＝Sh＝×3×3＝1.由三视图找出垂直关系是关键．

33例4：将长为a，宽为b(a>b)的长方形以a为轴旋转一周，所得柱体的体积为V1，以b为轴旋转一周，所得柱体的体积为V2，则有(

) A．V1>V2

B．V1

C．V1＝V2

D．V1与V2的大小关系不确定

解析：以a为旋转轴时，所得几何体的体积V1＝ab2π，以b为旋转轴时，所得几何体的体积V2＝a2bπ.

∴V1－V2＝abπ(b－a)，∵a>b，

∴V1－V2<0，∴V1

) A．63 B．93 C．123 D．183 答案：由三视图知，该几何体为平行六面体，

由图知高h＝2－1＝3. 底面积：S＝3×3＝9，

所以其体积V＝93.

1练习2：一个圆柱的高缩小为原来的，底面半n径扩大为原来的n倍，则所22

得的圆柱的体积为原来的________．

答案：n倍．

例5：在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．

解析：由、PB、PC为棱构造正方体，进而求出球的直径，从而得到球的体积．

答案:∵PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，

∴以PA、PB、PC为相邻的三条棱可以构造正方体．

∵P、A、B、C四点是球面上的四个点，

∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径，

∴2R＝3a，∴R＝3a，

24433333∴V＝πR＝πa＝πa. 3322练习1：体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．

答案：设正方体棱长为a，球半径为r. ∵a＝8，∴a＝2，又∵4πr＝6a，∴r＝4∴V球＝π3A.6π

3226. π6386π＝π. πB．43π

5 练***面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为(

)

C．46π

D．63π

答案：B

本题考查球的截面性质，考查利用公式求球的体积．

设球O的半径为R，则R＝12＋22＝3，

43故V球＝πR＝43π. 3

1．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(

) A．6a2

B．12a2

C．18a2

D．24a2

答案：B 2．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为(

) A.2

B.3 623C.

D.

23

答案：B 3．正四棱柱的体对角线长为6，侧面对角线长为33，则它的侧面积是________．

答案：362 4．若一棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为示)是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．

答案：

3π

5．已知某几何体的俯视图是如图所示矩形．主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(1)判断该几何体形状；

(2)求该几何体的侧面积S. 答案：(1) 这个几何体是四棱锥．

(2)作出该几何体的直观图，如图，E、F为AB、BC的中点，则AB＝8，PO＝4，BC＝6. 在Rt△POF中，PF＝16＋16＝42，

11∴S△PBC＝×6×42＝122，在Rt△POE中，PE＝16＋9＝5，∴S△PAB＝×8×5＝20，

22所以侧面积为2(122＋20)＝242＋40.

6.

若长方体的三个面的面积分别为2,3,6，则长方体的体积为 ；其对角线长为 。

答案：6，6

7. 若圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则这个圆锥的体积是 。

6

答案：3

248.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8，体积为14cm3，则棱台的高为 。

答案：2cm

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基础巩固

1.

如果圆锥底面半径为r，轴截面为等腰直角三角形，那么圆锥的全面积为（ ）

A、2r B、 答案：B 2、一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为（ ）

A、2 B、22 C、4 D、8

答案：C 3、轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是（ ）

A、1:2 B、2:3 C、1:3 D、1:4

答案：B 4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为(

) 221r2 C、13221r2 D、r2

3

A．2

B．3 C．4

D．6 答案：A 5. 已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是(

) A．955π

B．955

7

C．355π

D．355

答案：C 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A．12

B．18 C．24

D．30 答案：C 7．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为____________．

答案：33πR

248．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．

答案：如图所示，

VA1－EBFD1＝VA1－EBF＋VA1－EFD1＝VF－A1EB＋VF－A1ED1 1a21a2a3＝·a·＋·a·＝. 34346

能力提升

9. 正过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离是球半径R的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是(

) A．100π

B．300π

100π400C.

D.π

33334π4πR3答案：设球的半径为R，正方体的棱长为a，则＝a，∴a＝R，S正方体＝6a2＝6×错误!33R2＝16π2×24R2，

32S球＝4πR2＝4πR＝16π2×4πR2，

∴S球

一圆锥的底面半径为4，用平行于底面的截面截去底面半径为1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体积的(

) 8

63A.

641C.

4答案：轴截面如图，由题意1B.

161D.

64PO1O1D1＝＝，

POOB4

V圆锥PO1＝·PO1，V圆锥PO＝π·PO，

∴V圆台O1O＝V圆锥PO－V圆锥PO1

16π16π163＝π·PO－·PO1＝π·PO－··PO＝π·PO，

333341263π·POV圆台OO11263∴＝＝. V圆锥PO1664π·PO3(或由：截得小圆锥底半径为1，原来底半径为4，∴相似比为1：4，故小圆锥与原来大圆锥体积比为1：64，∴截得圆台与原来大圆锥的体积比为63：64)．

11.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为(

) π3163

3πA.

2C．π

B．2π

D．4π

1答案：由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为，高为1的圆柱．

2S圆柱侧＝2πRh＝2π××1＝π. S圆柱底＝2πR2＝，

π3π∴圆柱的全面积为π＋＝. 2212.

如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．

π2129

答案：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′－BCC′B′.

设它的底面ADD′A′的面积为S，高为h，

1则棱锥C－A′DD′的底面积为S，高是h，

2111故棱锥C－A′DD′的体积为VC－A′DD′＝×Sh＝Sh. 32615余下的体积是Sh－Sh＝Sh. 66所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1：5. 13.如图所示，在边长为5＋22的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N、K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．

答案：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知得1

×2πl))5＋r(2r(2，,2πr＝4{l＋r＋2r＝，

解得r＝2，l＝42，

h＝l2－r2＝30，

122302∴S＝πrl＋πr＝10π，V＝πrh＝π. 33

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