二、圆锥曲线的离心率与统一方程第一课时评课稿

荣昌区高中数学中心教研组

《圆锥曲线中的离心率问题》教学设计

重庆市荣昌仁义中学校

喻永文

【教学内容分析】

本节内容在高考试题中占有很大的比重，圆锥曲线中的离心率问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其考查内容主要是求离心率的值和范围，其求解策略一般有：利用曲线离心率定义，列方程，曲线的几何性质，题设指定条件，三角形的三边关系等。

【学生学情分析】

知识层面：学生已经理解了圆锥曲线的离心率定义. 能力层面：已初步掌握求解圆锥曲线的离心率，具有一定的数形结合能力．

学之难：在遇到离心率的范围时不知怎样建立不等式求解有困难．

【教学目标分析】

1、理解离心率的定义；

2、掌握求离心率的方法；

3、渗透数形结合的数学思想。

【教学重难点分析】

重点：圆锥曲线离心率求解方法；

难点：通过引导，让学生能从感性认知跃迁到理性的认识，体会数形结合的数学思想. 【教学过程设计】

一、

考点评估

近三年全国卷考察情况

年

2014

2015

2016

全国卷在解析几何小题部分的命题更注重基础知识的考察,其中离心率问题是重点考察的内容之一。

二、教材回归

1、

离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度，

1) 椭圆的离心率:e

2) 双曲线的离心率:e卷1

20（1）

卷2

11

11

卷3

11

焦距2cc

，椭圆离心率的取值范围：e(0,1)

长轴长2aa焦距2cc，双曲线离心率的取值范围：e(1,)

实轴长2aa3) 抛物线的离心率：e1

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【设计意图】回顾教材，让学生熟悉基础知识；

2、椭圆、双曲线的离心率考试类型

椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题．

一类：求解离心率的值；二类：求解离心率的取值范围．

基本的解题思路是：建立椭圆和双曲线中关于a，b，c的关系式。

【设计意图】高考中，圆锥曲线的离心率怎么考，让学生更加清楚。

三、题型分析

题型一：求圆锥曲线离心率的值

例1、（2016全国1卷）直线L经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到L的距离为其短轴1长的4，则该椭圆的离心率为（

）

1123（A）3

（B）2

（C）3

（D）4

【解析】由题意得在椭圆中，OFc,OBb,OD11OF中B，2bb，在Rt42|OF||OB||BF|，且a2b2c2，代入解得a24c2，所以椭圆得离心率得：e12，故选B.

，c易求时，可利用离心率【设计意图】例1是2016全国1卷11题，已知圆锥曲线的标准方程或acea来解决。方法提炼，利用离心率公式直接求值。

公式x2y2E:221F,FMF1与x12ab例2、(2016全国卷2)已知是双曲线的左，右焦点，点M在E上，sinMF2F13（B）2 轴垂直，13,则E的离心率为（ ）

（A）2 （C）3 （D）2 b2b21sinMF2F1MF1,MF22aMF1垂直于x轴，所以3，即aa，因为【解析】因为MF1MF2b22aab2a13，化简得ba，故双曲线离心率e1b2a.选A. 【设计意图】例2是2016全国2卷11题，根据题设条件关系等式，借助a，b，c之间的关系，沟通a，c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率e。方法提炼，列方程求离心率的值。

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题型二：求圆锥曲线离心率的取值范围

一般来说，求解离心率的范围也是一个热点题型，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围. (一）基本问题

x2y2例3。椭圆221的焦点为F1,F2,，两条准线与x轴的交点分别为M,N，若|MN|2|F1F2|，ab则该椭圆离心率的取值范围是（

）

Ａ．(0,]

Ｂ．(0,Ｃ．[,1)

Ｄ．[122]

22,1)

22a22a24c22FF2c12a2ccc【解析】Ｄ

因为两准线距离为，又因为，所以有，即，所以2e12．

【设计意图】本题主要考查准线方程及椭圆离心率的求法，而限制条件即是题目中的12MN2F1F2，故利用题设得到与离心率相关的不等式即可。方法提炼，利用题设指定条件求离心率的离心率的取值范围。

（二）数形结合

F、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的例4．已知1取值范围是（ ）

Ａ．(0,1)

Ｂ．(0,]

Ｃ．(0,1222)

Ｄ．[,1)

22【解析】Ｃ

由题，M的轨迹为以焦距为直径的圆，由M总在椭圆内部，知：cbc2b2a2c2e212e(0,)e(0,1)2，又2故选Ｃ.

，所以【设计意图】利用圆的几何性质判定轨迹为圆，再利用椭圆和圆的几何性质解题。一般地，cb时M点总在椭圆内部；acb时M点有4个在椭圆上；cb时M有2个在椭圆上，就是椭圆短轴的两个端点。方法提炼，利用曲线的几何性质求离心率的取值范围。

（三）三角形问题

x2y221(a0,b0)2PF12PF2F,Fab例5．双曲线的两个焦点为12，若P为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

Ａ．(1,3)

Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)

Ｄ．[3,)

1F2中【解析】如图，在PFPF1PF2FF12,PF1PF2FF12(后者在P与A1重合时取等)，

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又PF1PF22mmm2a，

则2a2c且3m6a2c，e(1,3]．

【设计意图】和焦点三角形相关的问题可以考虑用三角形三边关系来建立不等式。方法提炼--利用三角形三边关系求离心率的取值范围。

四、课堂小结

这节课你有什么收获？

1.

知识层面：圆锥曲线的离心率；求离心率的值及其范围的方法。

2. 数学思想层面：数形结合

五、作业设计

x2y221(a0,b0)2b1. 已知双曲线a的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（

C

）

Ａ．(1,2]

Ｂ．(1,2)

Ｃ．[2,)

Ｄ．(2,)

x2y221(ab0)2F、F12ab2. 设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（

D

）

(0,Ａ．2323](0,][,1)[,1)2

Ｂ．3

Ｃ．2

Ｄ．3

x2y23. 已知F1，F2分别为221

(a0,b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若abPF12PF2的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．1e3

x2y221(ab0)2MF1MF22b2F,F12ab4. 在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，2,1)2则椭圆的离心率是 .

[x2y221(a0,b0)2222xybab5. 设F是椭圆的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆227相切，当直线PF的倾斜角为3时，此椭圆的离心率是 . 7

六、教学反思

(一）、知识反思

圆锥曲线中的离心率问题是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高荣昌区高中数学中心教研组

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考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度；二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.

（二）、方法反思

求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系.在此，要活用圆锥曲线的特征三角形。常用方法如下:

1、利用曲线定义。圆锥曲线的统一定义是与离心率密不可分的,在题目中挖掘这隐含信息有助于解题；

2、利用曲线变量范围。圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的,充分利用这一点，可优化解题；

3、利用直线与曲线的位置关系。根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的不等式，可迅速解题；

4、利用点与曲线的位置关系。根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是一个重要的解题途径；

5、联立方程组。如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式并求其解；

6、三角函数的有界性。用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易解；

7、用根的判别式根据条件建立与ａ、ｂ、ｃ相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解；

8、构造关于e的方程求解；

9、数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线形和圆。因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。

因课时有限，是一堂由我区高中数学中心组借班教学的示范课，我在教学设计和计划中只是讲解了五种基本方法，并没有完整的将九种方法一一讲解，略有遗憾。

（三）、教后反思

1、成效。课堂教学基本能按照自己的想法开展，能以问题为纽带，用问题引出内容，激发学生积极主动地进行探索；同时向学生渗透数学思想方法；渗透问题意识，培养学生发现问题、解决问题的能力以及采用

“提出问题——引导探究——得出结论——讲练结合”的教与学模式，大多数学生能够对知识的掌握。

2、不足。由于是借班上课，借用的是该校比较差的班级，考虑到该校是我去比较好的一所中学，并没有对学生基础较差的情况估计充分，已致学生的参与度不是很高，部分学生不知怎么探究，变成自己在讲解。所以在以后的教学中，我在内容设置时应考虑更有不同层次的问题，让更多学生参与到问题的探究中去；另外，课堂的节奏还是偏紧，留给学生的时间不是很多，没能达到我所喜欢的课堂是既紧张又活泼，既自主又合作，既数学又生活的课堂，这需要对数学与生活较透彻的理解，又需要语言表达的精确与幽默。

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