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1．如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD＝∠BPC，则△PAB的面积的最大值是（

）

A．12

2B．24

C．32

D．48

，2．已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且则△AFK的面积为（

）

A．4

B．8

22C．16

D．32

3．圆C的方程为：（x+a）+（y﹣a）＝1，点A（0，3），O为坐标原点，若C上存在点P，使得|PA|＝2|PO|，则a的取值范围是（

）

A．（B．（C．[D．[，﹣1）∪（0，，）

]

） ，﹣1]∪[0，，]

4．F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为（

）

A．直线

B．圆

，满足|C．椭圆

|＝3，|+|＝2|﹣D．双曲线

|，设，的夹角为5．已知两个不共线的向量θ，则cosθ的最小值是（

）

A．

B．

C．

D．

6．已知共面向量，，满足||＝3，+＝2，且||＝|﹣|．若对每一个确定的向量，记|﹣t|（t∈R）的最小值dmin，则当变化时，dmin的最大值为（

）

A．

B．2

C．4

D．6

7．如图，已知平面α⊥β，α∩β＝l，A、B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，

且DA⊥l，CB⊥l，AD＝3，AB＝6，CB＝6，P是平面α上的一动点，且直线PD、PC与平面α所成角相等，则二面角P﹣BC﹣D的余弦值的最小值是（

）

A．

B．

C．

＝D．1

＝2，则V四面体ABCD的8．在四面体ABCD中，已知AD⊥BC，AD＝6，BC＝2，且最大值为（

）

A．6

B．2

C．2

＝λD．8

+μ，3λ+4μ＝2（λ，μ∈R），9．设点P是△ABC所在平面内动点，P不在BC上，满足||＝||＝|2|，若|AB|＝3，则△ABC的面积最大值是

．

210．已知圆O：x+y＝1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则：

（Ⅰ）b＝

；

（Ⅱ）λ＝

．

11．已知圆O：x+y＝1和点A（2，0），若定点B（t，0）（t≠2）和常数λ满足：对圆O上任意一点P，都有|PB|＝λ|PA|，则2222＝

．

＝12．已知点P是圆x+y＝1上的任意一点，A（﹣5，0），B（b，0）（b≠﹣5），若λ，（λ为定值），则λb＝

．

13．如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．

（1）圆C的标准方程为

；

（2）过点A任作一条直线与圆O：x+y＝1相交于M，N两点，下列三个结论：

①＝；

②﹣＝2；

③+＝2．

22其中正确结论的序号是

．（写出所有正确结论的序号）

14．已知函数（fα）＝2﹣，若集合{α∈R|f（α）≥m}≠∅，则实数m的取值范围为

．

15．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（3，0），C（0，a），D（0，a+2），若存在点P，使得，PC＝PD，则实数a的取值范围是

．

＝+，设f（x，y）＝||，若16．已知BC＝6，AC＝2AB，点D满足f（x，y）≥f（x0，y0）恒成立，则f（x0，y0）的最大值为

．

17．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠DAB＝60°，AC＝3BC，则边CD长的最小值为

．

18．已知点A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为

．

19．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且BQ的长度的最大值为

．

20．棱长为36的正四面体A﹣BCD的内切球球面上有一动点M，则为

．

21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，点E，F在线段DB1上，且DE＝EF＝＝2的最小值，则线段＝FB1，点M是正方体表面上的一动点，点P，Q是空间两动点，若且|PQ|＝4，则•的最小值为

．

22．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是

．

23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）+（y﹣a+2）＝1，点A（0，﹣3），若圆C上存在点M，满足|AM|＝2|MO|，则实数a的取值范围是

．

24．已知在平面直角坐标系中，圆＝1，O（0，0），A（﹣3，0），22若圆C上总存在点M，使得|MA|＝2|MO|，则实数a的取值范围是

．

25．已知向量，满足||＝3，||＝2|为

．

26．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB：AD：AC＝3：k：1，则实数k的取值范围为

．

27．已知圆C：x+y＝9，点A（﹣5，0），直线l：x﹣2y＝0．

（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；

（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

，点N到直线PM的距离为22|，若|+λ|≥3恒成立，则实数λ的取值范围28．已知点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为1，求直线PN的方程．

29．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝x﹣3．设圆C的半径为1，圆心在l上．

（1）若圆心C也在直线y＝2x﹣4上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

2019年04月25日袁青萍的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD＝∠BPC，则△PAB的面积的最大值是（

）

A．12

B．24

C．32

D．48

【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，

∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD＝∠BPC，

∴△PAD∽△PBC，又AD＝4，BC＝8，

∴PB＝2PA

作PM⊥AB，垂足为M，令AM＝t∈R，

在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB＝2PA

∴PA﹣t＝4PA﹣（6﹣t）

解得PA＝12﹣4t

∴PM＝

＝3＝3≤12

22222∴S＝×AB×PM＝×6×即三角形面积的最大值为12

故选：A．

2．已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且则△AFK的面积为（

）

A．4

B．8

22，C．16

D．32

【解答】解：∵抛物线C：y＝8x的焦点为F（2，0），准线为x＝﹣2

∴K（﹣2，0）

设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0）

∵22，又AF＝AB＝x0﹣（﹣2）＝x0+2

2222∴由BK＝AK﹣AB得y0＝（x0+2），即8x0＝（x0+2），解得A（2，±4）

∴△AFK的面积为故选：B．

3．圆C的方程为：（x+a）+（y﹣a）＝1，点A（0，3），O为坐标原点，若C上存在点P，使得|PA|＝2|PO|，则a的取值范围是（

）

A．（B．（C．[D．[，﹣1）∪（0，，）

]

） 22，﹣1]∪[0，，]

【解答】解：设点P（x，y），因为|PA|＝2|PO|，∴（y﹣3）+x＝4（x+y），

化简得整理得：x+（y+1）＝4，

所以点P既在以D（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆上．

又点P（x，y）在圆C上，即圆C与圆D有公共点P，

C（﹣a，a），半径r＝1，

则若两圆相交，

则满足2﹣1≤|CD|≤2+1，

即1≤即1≤2a+2a+1≤9，

得得，

2222222≤3，

即

得0≤a≤或≤a≤﹣1，

，﹣1]∪[0，]，

综上实数a的取值范围是[故选：C．

4．F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为（

）

A．直线

B．圆

C．椭圆

D．双曲线

【解答】解：设O为F1F2的中点

延长F1P交QF2于A，连接OP

据题意知△AQF1为等腰三角形

所以QF1＝QA

∵|QF1﹣QF2|＝2a

∴|QA﹣QF2|＝2a

即AF2＝2a

∵OP为△F1F2A的中位线

∴OP＝a

故点P的轨迹为以O为圆心，以a为半径的圆

故选：B．

5．已知两个不共线的向量，满足||＝3，|+|＝2|﹣|，设，的夹角为θ，则cosθ的最小值是（

）

A．

【解答】解：又∴∴，当且仅当，的夹角为θ；

；

，即||＝3时取“＝”；

B．

得，C．

D．

；

∴cosθ的最小值为．

故选：A．

6．已知共面向量，，满足||＝3，+＝2，且||＝|﹣|．若对每一个确定的向量，记|﹣t|（t∈R）的最小值dmin，则当变化时，dmin的最大值为（

）

A．

B．2

＝，＝，C．4

＝，

D．6

【解答】解：如图，设∵+＝2，

∴M为BD的中点，

∴S△ABD＝•3d•2＝3d，

∵||＝|﹣|，

∴AD＝BD，

设AB＝c，AD＝b，

∴在▱ABCD中，2[（AB）+（AD）]＝AC+BD，

∴b+2c＝36，①，

∵S△ABD＝•c•＝•c•，

222222将①代入可得，S△ABD＝•c•∴3d＝c∴d＝c故选：B．

，

≤＝c，

＝2，当且仅当c＝8时，取等号，

2

7．如图，已知平面α⊥β，α∩β＝l，A、B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，AD＝3，AB＝6，CB＝6，P是平面α上的一动点，且直线PD、PC与平面α所成角相等，则二面角P﹣BC﹣D的余弦值的最小值是（

）

A．

B．

C．

D．1

【解答】解：∵AD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，AD⊂β，

∴AD⊥α，同理：BC⊥α．

∴∠DPA为直线PD与平面α所成的角，∠CPB为直线PC与平面α所成的角，

∴∠DPA＝∠CPB，又∠DAP＝∠CBP＝90°，

∴△DAP∽△CPB，

∴＝，．

在平面α内，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

则A（﹣3，0），B（3，0）．设P（x，y），（y＞0）

∴2＝，整理得（x+5）+y＝16．

22∴P点在平面α内的轨迹为以M（﹣5，0）为圆心，以4为半径的上半圆．

∵平面PBC∩平面β＝BC，PB⊥BC，AB⊥BC，

∴∠PBA为二面角P﹣BC﹣D的平面角．

∴当PB与圆相切时，∠PBA最大，cos∠PBA取得最小值．

此时PM＝4，MB＝8，MP⊥PB，∴PB＝4cos∠PBA＝＝．

．

故选：C．

8．在四面体ABCD中，已知AD⊥BC，AD＝6，BC＝2，且最大值为（

）

A．6

B．2

C．2

D．8

＝＝2，则V四面体ABCD的【解答】解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，

取BC中点F，所以EF⊥BC，EF⊥AD，四面体ABCD的体积的最大值，只需EF最大即可，即需BE最大，

以AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线为y轴，则A（﹣3，0），D（3，0），

设B（x，y），则∵∴AB＝2BD，

∴（x+3）+y＝4（x﹣3）+4y，

∴（x﹣5）+y＝16，

∴BE最大为4，此时CE＝4，∴EF＝＝，

＝2

＝2．

222222＝2，

故四面体ABCD的体积的最大值为故选：C．

二．填空题（共18小题）

9．设点P是△ABC所在平面内动点，P不在BC上，满足||＝||＝|＝λ+μ，3λ+4μ＝2（λ，μ∈R），|，若|AB|＝3，则△ABC的面积最大值是

9

．

【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，

建立如图所示的直角坐标系，

则A（﹣1.5，0），B（1.5，0），外心P（0，p），C（x，y），

由||＝||＝||，可得

1.52+p2＝x2+（y﹣p）2，

化为x2+y2﹣2py＝2.25，

＝λ+μ，

可得（﹣x，p﹣y）＝λ（﹣1.5﹣x，﹣y）+μ（1.5﹣x，﹣即为﹣x＝λ（﹣1.5﹣x）+μ（1.5﹣x），

p﹣y＝﹣λy﹣μy，

可得3λ＝1.5﹣+，

4μ＝2﹣﹣，

由3λ+4μ＝2，

可得4.5y﹣10.5p﹣px＝0，

即p＝，

代入x2+y2﹣2py＝2.25，

可得y2＝，

可令t＝3+2x，

则y2＝≤＝36，

可得y的最大值为6，

则C到AB的距离的最大值为6，

则△ABC的面积的最大值为×3×6＝9．

故答案为：9．

y），

10．已知圆O：x+y＝1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则：

（Ⅰ）b＝

﹣

；

（Ⅱ）λ＝

．

2222【解答】解：解法一：设点M（cosθ，sinθ），则由|MB|＝λ|MA|得（cosθ﹣b）+sinθ＝λ[（cosθ+2）+sinθ]，即

﹣2bcosθ+b+1＝4λcosθ+5λ对任意θ都成立，所以222222．又由|MB|＝λ|MA|得λ＞0，且b≠﹣2，解得．

解法二：（Ⅰ）设M（x，y），则

∵|MB|＝λ|MA|，

∴（x﹣b）+y＝λ（x+2）+λy，

由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入可得（1﹣b）＝λ（1+2），（﹣1﹣b）＝λ（﹣1+2），

∴b＝﹣，λ＝．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ＝．

故答案为：﹣，．

11．已知圆O：x+y＝1和点A（2，0），若定点B（t，0）（t≠2）和常数λ满足：对圆O22222222222222

上任意一点P，都有|PB|＝λ|PA|，则【解答】解：设P（x，y），则

∵|PB|＝λ|PA|，

∴（x﹣t）+y＝λ（x﹣2）+λy，

222222＝

．

由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入可得（1﹣t）＝λ（1﹣2），（﹣1﹣t）＝λ（﹣1﹣2），

∴t＝，λ＝，

∴＝．

222222故答案为：．

12．已知点P是圆x+y＝1上的任意一点，A（﹣5，0），B（b，0）（b≠﹣5），若λ，（λ为定值），则λb＝

﹣1

．

【解答】解：根据题意，点P是圆x+y＝1上的任意一点，设P（cosθ，sinθ），

则|PA|＝（cosθ+5）+sinθ＝26+10cosθ，|PB|＝（cosθ﹣b）+sinθ＝b+1﹣2bcosθ，

若＝λ，则有|PA|＝λ|PB|，

2222222222222222＝即26+10cosθ＝λ[b+1﹣2bcosθ]，

则有，

解可得b＝﹣5或﹣，

又由b≠﹣5，则b＝﹣，

则λ＝5，

则λb＝5×（﹣）＝﹣1；

故答案为：﹣1．

13．如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．

（1）圆C的标准方程为

（x﹣1）+（y﹣222）＝2

；

2（2）过点A任作一条直线与圆O：x+y＝1相交于M，N两点，下列三个结论：

①＝；

②﹣＝2；

③+＝2．

其中正确结论的序号是

①②③

．（写出所有正确结论的序号）

【解答】解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），

∴圆心的横坐标x＝1，取AB的中点E，

∵|AB|＝2，∴|BE|＝1，

则|BC|＝，即圆的半径r＝|BC|＝），

2，

∴圆心C（1，则圆的标准方程为（x﹣1）+（y﹣故答案为：（x﹣1）+（y﹣（2）∵圆心C（1，22）＝2，

2）＝2．

），

），∴E（0，又∵|AB|＝2，且E为AB中点，

∴A（0，﹣1），B（0，22+1），

∵M、N在圆O：x+y＝1上，

∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），

∴|NA|＝＝＝＝＝|NB|＝＝＝

，

＝∴＝＝，

，

＝＝，

同理可得∴﹣+＝，①成立，

＝＝﹣（+（）＝2，②正确．

）＝，③正确．

故答案为：①②③．

14．已知函数（fα）＝2（α）≥m}≠∅，则实数m的取值范围为

【解答】解：由f（α）＝2＝2＝2，

＝1﹣，

﹣

﹣

．

﹣

，若集合{α∈R|f由于集合{α∈R|f（α）≥m}≠∅，

即存在α使m≤f（α）min，

故m故答案为：．

15．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（3，0），C（0，a），D（0，a+2），若存

在点P，使得，PC＝PD，则实数a的取值范围是

[﹣2，则＝×﹣1，2﹣1]

．

，整【解答】解：设P（x，y），由理得：（x﹣5）+y＝8，

动点P是以（5，0）为圆心，以222为半径的圆，另一方面，由PC＝PD知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a+1上运动，

因而问题就转化为直线y＝a+1与圆（x﹣5）+y＝8有交点，

所以|a+1|≤2故答案为：[﹣2，故实数a的取值范围是[﹣2﹣1，2﹣1]．

＝+，设f（x，y）＝||，若﹣1，2﹣1]，

2216．已知BC＝6，AC＝2AB，点D满足f（x，y）≥f（x0，y0）恒成立，则f（x0，y0）的最大值为

4

．

【解答】解：BC＝6，AC＝2AB，点D满足＝设（2＝2）+，＝（，

），

＝+

则三点D，E，F共线，

由题意可得EF＝BC＝6，

且AF＝2AE，|AD|的最小值为A到直线EF的距离，

可设A（m，n），E（﹣3，0），F（3，0），

可得＝222，

两边平方化简可得m+n+10m+9＝0，

即有A在以（﹣5，0）为圆心，4为半径的圆上运动，

则|AD|的最小值为4，

f（x，y）≥f（x0，y0）恒成立，

可得f（x0，y0）≤4，

即f（x0，y0）的最大值为4，

故答案为：4．

17．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠DAB＝60°，AC＝3BC，则边CD长的最小值为

．

【解答】解：如图以AB中点O

为原点，建立平面直角坐标系，A（﹣2，0），B（2，0），设C（x，y）．

由AC＝3BC，可得，

化简得x2+y2﹣5x+4＝0，

∴点C在圆（x﹣）2+y2＝上，

则边CD长的最小值为圆（x﹣）2+y2＝上点到D的最小值，在三角形ABD中，

由余弦定理可得BD＝＝2，

∵圆（x﹣）2+y2＝的圆心M（），半径r＝，

∴DM＝＝

∴边CD长的最小值为DM﹣r＝，

故答案为：．

18．已知点A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为

4

．

【解答】解：设D（x，y），由D在AC上，

得：，即x+ty﹣t＝0，

++≥，

＝，至多有一个公共点，

由AD≤2BD得：依题意，线段AD与圆∴，解得：t≥2+或t≤2﹣，

∵t是使AD≤2BD恒成立的最小正整数，∴t＝4，

故答案为：4．

19．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且BQ的长度的最大值为

6

．

【解答】解：在正方形ABCD所在平面内建立平面直角坐标系，设Q（x，y）

则有PQ＝3+x+（1﹣y），QC＝（x﹣2）+（y﹣2）．

∵，可得（x+2）+y＝4．

22222222，则线段∴点Q的轨迹是以（﹣2，0）为圆心，半径为2的圆，

∴线段BQ的长度的最大值为2×2+2＝6．

故答案为：6

20．棱长为36的正四面体A﹣BCD的内切球球面上有一动点M，则4

．

的最小值为

【解答】解：由阿波罗尼斯球得内切球球心O是线段CH上以C，E为定点，

空间中满足＝λ（λ≠1）的点P的集合，

连结CO并延长交平面ABD于H，交内切球上方的点设为K，

过M作ME⊥CH，交CH于E，连结BM，CM，

设OE＝x，由已知得CO＝9＝∴λ＝∴∴MB+，∴＝，∴＝＝3，

，

，OH＝3，

，

，解得x＝＝MB+ME≥BE，

，OE＝，

在△BOE中，BO＝CO＝9cos∠BOE＝﹣cos∠BOH＝﹣，

∴BE＝∴的最小值为4．

．

＝4．

故答案为：4

21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，点E，F在线段DB1上，且DE＝EF＝＝2＝FB1，点M是正方体表面上的一动点，点P，Q是空间两动点，若且|PQ|＝4，则•的最小值为

﹣

．

【解答】解：如图，由题意可得DB1＝9，EF＝3，

在线段EF上取一点K，使得EK＝2，FK＝1，

设KB1的中点为N，

由于＝＝2，则点P，Q在以KB1为直径的球N的表面上，球心为N，球的直径为4，

由于|PQ|＝4，故PQ是球N的直径，

即•＝（•+）﹣（2﹣）]＝2﹣＝﹣4，

故要求的最小值，只需要求出||的最小值，

|有最小值||＝，

设点N在平面BCC1B1内的射影为M0，则当M在M0处时，|

此时﹣4＝﹣4＝﹣，

故答案为：﹣

22．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是

2

．

2【解答】解：设P（x，x+m），∵PA＝PB，∴4|PA|＝|PB|，

∴4（x﹣1）+4（x+m）＝（x﹣4）+（x+m），

化为（x+m）＝4﹣x，

∴4﹣x≥0，解得x∈[﹣2，2]，

∴m＝﹣x±，

2222222令x＝2cosθ，θ∈[0，π]，

∴m＝﹣2cosθ±2sinθ

＝实数m的取值范围是故答案为：．

22∈，

，

23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）+（y﹣a+2）＝1，点A（0，﹣3），若圆C上存在点M，满足|AM|＝2|MO|，则实数a的取值范围是

[﹣1，2]

．

【解答】解：设点M（x，y），由|MA|＝2|MO|，

得

＝2即x+y+2x﹣3＝0，

∴点M在圆心为D（﹣1，0），半径为2的圆上．

又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，

∴1≤|CD|≤3，

22，

∴1≤≤3，解得﹣1≤a≤2．

即实数a的取值范围是[﹣1，2]．

故答案为：[﹣1，2]．

24．已知在平面直角坐标系中，圆＝1，O（0，0），A（﹣3，0），]∪[，若圆C上总存在点M，使得|MA|＝2|MO|，则实数a的取值范围是

[]

．

【解答】解：由题意，设M（x，y），O（0，0），A（﹣3，0），

由|MA|＝2|MO|，

可得：（x+3）+y＝4（x+y）

即x+y﹣2x﹣3＝0．

表示为（1，0）为圆心，半径为：2的圆．

圆又∵M在圆C上，

即两圆总有交点：

可得：两圆心的距离d＝满足：2﹣1≤d≤2+1．

即1≤2|a|≤3．

解得：故答案为：[或．

＝2|a|，

＝1，圆心为（a+1，），半径r＝1．

222222]∪[，]．

|，若|+λ|≥3恒成立，则实数λ的取值范围为

25．已知向量，满足||＝3，||＝2|（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）

．

【解答】解：∵||＝2|∴|||﹣3|≤||≤|+3，

解得：2≤||≤6．

∵||＝2||，∴＝4（9﹣2+|，|||﹣|||≤||≤||+||，||＝3，

），

∴＝+．

+2λ+9λ≥9恒成立，

22若|+λ|≥3恒成立，即令＝t，f（t）＝t+2λ（t+）+9λ﹣9＝（1+）t+9λ+9λ﹣9，

2则f（t）≥0在[4，36]上恒成立．

∴，即，

解得λ≤﹣3或λ≥．

综上所述λ的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．

26．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB：AD：AC＝3：k：1，则实数k的取值范围为

（，）

．

【解答】解：∵DC＝2BD，

∴＝+2，

＝2两边平方得：2+2+|+|•||cosθ，θ∈（0，π），

，），

即k＝×9+×1+∵k＞0，

∴k∈（，）．

故答案为：（，）

三．解答题（共3小题）

cosθ＝cosθ∈（27．已知圆C：x+y＝9，点A（﹣5，0），直线l：x﹣2y＝0．

（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；

（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

22

【解答】解：（1）设所求直线方程为y＝﹣2x+b，即2x+y﹣b＝0，∵直线与圆相切，

∴，得，

∴所求直线方程为，

（2）方法1：假设存在这样的点B（t，0），

当P为圆C与x轴左交点（﹣3，0）时，当P为圆C与x轴右交点（3，0）时，依题意，下面证明点2；

，

．

为一常数．

，解得，t＝﹣5（舍去），或对于圆C上任一点P，都有2设P（x，y），则y＝9﹣x，

∴，

从而为常数．

为常数λ，则PB＝λPA，

2222方法2：假设存在这样的点B（t，0），使得222222∴（x﹣t）+y＝λ[（x+5）+y]，将y＝9﹣x代入得，

x﹣2xt+t+9﹣x＝λ（x+10x+25+9﹣x），

即2（5λ+t）x+34λ﹣t﹣9＝0对x∈[﹣3，3]恒成立，

222222222∴，解得或（舍去），

所以存在点对于圆C上任一点P，都有为常数．

，点N到直线PM的距离为28．已知点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为

1，求直线PN的方程．

【解答】解：设P的坐标为（x，y），由题意有即整理得x+y﹣6x+1＝0，

因为点N到PM的距离为1，|MN|＝2

所以PMN＝30°，直线PM的斜率为直线PM的方程为将解得，2222，

，

代入x+y﹣6x+1＝0整理得x﹣4x+1＝0

或或2则点P坐标为

直线PN的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．

29．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝x﹣3．设圆C的半径为1，圆心在l上．

（1）若圆心C也在直线y＝2x﹣4上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

【解答】解：（1）由题设，圆心C在y＝x﹣3上，也在直线y＝2x﹣4上，2a﹣4＝a﹣3，∴a＝1，∴C（1，﹣2）．

∴⊙C：（x﹣1）+（y+2）＝1，

由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，则，22

解得：，…（4分）

，

又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x＝0或即x＝0或12x+5y﹣15＝0…（6分）

（2）设点C（a，a﹣3），M（x0，y0），则

∵MA＝2MO，A（0，3），O（0，0），

∴又点M在圆C上，∴∴M点为若存在这样的点M，则与与，即，

，

的交点，…（9分）

有交点，

≤3，即1≤2a﹣4a+4≤9，

2即圆心之间的距离d满足：1≤d≤3，∴1≤解得：a≤…（14分）