习题2.1优质教案设计

2.2.1椭圆及其标准方程

三维目标

1.

掌握椭圆的定义,掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程;能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程. 2.

通过对椭圆概念的引入教学,通过学生的亲自体验,培养学生观察、联想和探索能力；通过对椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。

3.

通过本节学习，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。

重点难点

教学重点：掌握椭圆的定义与标准方程。

教学难点：椭圆标准方程推导过程中的化简。

教学过程: 问题

1 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线? 生活中有哪些物体是有这种曲线的形状? 2在运动中,这条曲线上的点所满足的几何条件是什么? 3如何描述动点M所满足的几何条件呢? 4还有其它约束条件吗? 师生活动

由学生动手实验,然后让学生回答这是椭圆.生活中的些汽车的标志、商标等都有椭圆的形状.再有动画演示这个实验的过程. 分析实验中“变”与“不变”的条件.|F1F2|是定长,|MF1|,|MF2|都在变化,但是它们的和|MF1|+|MF2|不变. 椭圆是平面上的一个动点到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹. 师生共同讨论:平面上一个动点到两个定点距离之和等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么?结果是线段F1F2. 写出动点M所满足的几何条件的点的集合:P={M||MF1|+|MF2|=2a}.明确椭圆的定义:平面内与两个动点F1,F2的距离的和等于常数(大于) |F1F2|的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 5我们怎样建立适当的坐标系,求椭圆的方程呢? 类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程,以线段|F1F2|的中点为原点,以F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系. 完成了建系,设点M(x,y)是椭圆上的任一点,椭圆的焦距为2c(c>0).那么焦点F1,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0),又设点M与F1,F2的距离的和等于常数2a. 由定义可知,椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a} 2222 因为|

MF1|(xc)y,|MF2|(xc)y

2222(xc)y(xc)y2a

6怎样化简方程

22师生共同探讨:将左边的一个根式移到右边得: (xc)y(xc)y2a22(xc)2y22a(xc)2y2

将这个方程两边平方得

(xc)2y24a24a(xc)2y2(xc)2y2

整理得a2cxa(xc)2y2

上式两边再平方

42222222222 得a-2acx+cx=ax-2acx+ac+ay22222222整理得(a-c)x+ay=a(a-c) 22两边同除以a-c

所以x2a27观看书本图象,能从中找出表示a,c,a2c2

y2a2c21 ①

|PF1|=|PF2|=a,|OF1|=|OF2|=c, |PO|=,令b=|PO|= ①

式就是: x2a2y2b21(ab0)②

从上述过程可以看到椭圆上任意点的坐标都满足方程②,以方程②的解(x,y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0)的距离和为2a,即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上,由曲线与方程的关系可知,方程②是椭圆的方程,我们把它叫做椭圆的标准方程.它的焦点在x轴上,两个焦点分别是223F1(-c,0),F2(c,0).c=a-b

8如果焦点F1,F2在y轴上,且F1,F2的坐标分别是(0,-c),(0,c),那么椭圆的方程是什么? 学生不难发现,方程是y2a师生共同归纳①大分母是a,小分母是b ②a爱着谁,焦点爱着谁

9 (口答)2222x2b21(ab0)

所以椭圆是标准方程有两个.

已知椭圆的方程

x2y2110064请学生口答

请填空：a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__. 22若椭圆的方程为16x+9y=144呢？

10教科书例1 请学生板演

解法一:利用定义求a,b 解法二:利用待定系数法求解

由师生共同探讨完成

11（挑战题）若方程

x2 y2k23k1

①表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围②若方程表示椭圆呢? 12 教科书练习1,2,3 小结:提问①什么样的点能构成椭圆? ②椭圆上的点有何特征? ③椭圆的标准方程是怎样的? 作业:作业本椭圆(一)

请学生板演