3.1.3 导数的几何意义教案和课堂实录

导数的几何意义

【教学目标】

知识与技能目标：

/xxff(x)0（1）使学生掌握函数在处的导数x0的几何意义就是函数f(x)的图像在xx0处的切线的斜率。（数形结合），即：

f/x0limx0fx0xf(x0)x＝切线的斜率

(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

【教学手段】采用计算机，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

【教学重点与难点】

重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义

【教学过程】

2(s)h(t)4.9t6.5t10（单位：m）t问题：在高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是，求运动员在t1s时的瞬时速度，并解释此时的运动状态；在t0.5s时呢？

教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释t1s，t0.5s时运动员的运动状态。

（二）课题引入，类比探讨：

由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质。

问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达式。

学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出：

导数f/(x0)的本质是函数fx0xf(x0)x

f(x)在xx0处的瞬时变化率，即：

f/x0limx0问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？

/f(x0)的步骤。

即：导数的代数表达式，并回忆求导数/f(x0)的步骤有哪几步? 问（三）求导数教师引导学生回答：

f(x0x)f(x0)x第一步：求平均变化率；

1

f(x0x)f(x0)/f(x0)。

xx第二步：当趋近于0时，平均变化率无限趋近于的常数就是教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：

f(x0x)f(x0)x●问（四）：第一步：平均变化率的几何意义是什么？

请在函数图像中画出来；

学生动手活动：见“学生动手实践”。

f(x0x)f(x0)x由学生乙回答：平均变化率的几何意义是割线AB的斜率。

A(x0,f(x0)),B(x0x,f(x0x))。教师提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。

●问（五）：第二步：x0时，割线AB有什么变化？请画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”。

教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：

x0，B(x0x,f(x0x))A(x0,f(x0)),

xx0处的切线，当x0，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在请把它画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”。

教师展示学生作品，

引导学生发现，并说出：

（形）x0，割线AB切线AD，

则割线AB的斜率切线AD的斜率

f

由数形结合，得

/x0limx0/fx0xf(x0)x＝切线AD的斜率

xx0处的导数f所以，函数f(x)在x0的几何意义就是函数f(x)的图像在xx0处的切线AD的斜率。（数形结合）。

（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解

“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。）

动画演示，总结归纳

1．演示Flash动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出来。

2．

教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示Powerpoint动画。

2

yl1A初中平面几何中，圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。

圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上图中，直线l1虽然与曲线有惟一的公共l2B点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线l1虽然与曲线有不只一个xC公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。

通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。

3．根据导数的几何意义，在点P附近，曲线f(x)可以用在点P处的切线

近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）

教师引导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结合教材。

（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。）

（四）训练巩固、加强理解：

2//h(t)4.9t6.5t10h(1)3.3h1．在函数的图像上，（1）用图形来体现导数，(0.5)1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线h(t)在的情况。在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢t3,t4附近呢？

3

h

O

t3

t4t0

t1

t2

t

（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数

的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）

2．如图表示人体血管中的药物浓度cf(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)

t

药物浓度的

瞬时变化率

0.2

0.4

0.6

0.8

（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）

（五）抽象概括，归纳小结：

1．抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念：

//x0是确定的数（静态）f

，fx是x的函数（动态）

f由

/x0limx0fx0xf(x0)x（特殊——一般）

4

f

/fxxf(x)xlimx0x（静态——动态）

（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想

2．归纳小结：

由学生进行开放式小结：

xx0处的导数f（1）函数f(x)在/x0的几何意义就是函数f(x)的图像在

xx0处的切线AD的斜率。（数形结合），即：

f/x0limx0fx0xf(x0)x＝切线AD的斜率

fxxf(x)xlimx0x（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

f（3）导函数（简称“导数”）的概念。（六）作业布置，分层要求：

1．习题P10A5,6.B2,3.

/

r(V)32．如图（函数图像参见“学生动手实践”，此略）是利用信息技术画出的函数图像，请根据图像，估计V0.6,1.2时，气球的瞬时膨胀率。有什么发现？

3V(0V5)4的r

r(V)33V0V5

4O

V

xx0处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。

3．请给出求函数yf(x)在（探索：若把3 ．“在点切线的题目。）

学生动手实践

/f(x0)的本质是什么？请写数学表达式。

提问：1．导数(x0,f(x0))

处”改为“过点(x0,f(x0))”，算法有何不同？并小组自编四个求

5

f(x0x)f(x0)

２．函数f(x)平均变化率的几何意义是什么，请在函数图

x像中画出来。

f

(

x

)

y

1）平均变化率f(x0x)f(x0)的几何意义：

x

2）当x0时，观察图形变化。

f(x0)

x

O

0

x

/f(x0)的几何意义是什么？

3．导数2//h(t)4.9t6.5t10h(1)3.3h练习1．在函数的图像上，（1）说说，(0.5)1.6的几何意义。（2）请描述、比较曲线h(t)在

(1) t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？

h

O

0.5

1.0

t

6

(2) h

O

t3

t4

t0

t1

t2

t

2．如图表示人体血管中的药物浓度cf(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8(min)时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)，把数据用表格的形式列出。

t

药物浓度的

瞬时变化率

抽象概括：

/0.2

0.4

0.6

0.8

fx0limx0fx0xf(x0)x归纳小结

7