3.1.3 空间向量的数量积运算教案和课堂实录

3.1.3空间向量的数量积运算

一、教学目标

1.知识与技能

掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握空间向量的数量积及其运算律．

2．过程与方法

通过利用两个向量的数量积公式解决立体几何中的一些简单问题、体会类比和归纳的数学思想．

3．情感、态度与价值观

激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度以及空间想象的能力．

二、教学重难点

教学重点：空间向量的夹角，数量积的概念、计算方法及其应用．

教学难点：空间向量数量积的几何意义以及立体几何问题的转化．

三、教学过程

（一）情景引入

（1）空间向量的夹角

问题导思

图3－1－12 →→如图3－1－12等边三角形ABC中，AB、BC的夹角是60°吗？

→→【答案】

不是．根据平面向量夹角的定义，AB、BC的夹角应为120 °.

图3－1－13 （二）讲授新课

1．夹角的定义

→→已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

2．夹角的范围

空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共π线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，2两向量垂直，记作a⊥b. 空间向量的数量积及其性质

问题导思

1．平面向量的数量积a·b的结果怎样？这一结果是向量还是数量？

【答案】

a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，结果为一数量．

2．平面向量的数量积满足怎样的运算律？

【答案】

交换律与分配律．

1．已知空间中两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0·a＝0. 2．空间向量数量积满足下列运算律：

(1)(λa)·b＝λ(a·b)；

(2)交换律：a·b＝b·a；

(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量数量积的性质：

若a、b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则

(1)e·a＝a·e＝|a| cos θ；

(2)a⊥b⇔a·b＝0；

(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a；

a·b(4)若θ为a、b的夹角，则cos θ＝；

|a||b|(5)|a·b|≤|a|·|b|. （三）例题解析

例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

已知：如图,PO,PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA. 求证：lPA.

【解析】用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！

证明：在直线l上取向量a,

只要证a×PA=0因为a×PO=0,a×OA=0所以a×PA=a×(PO+OA)=a×PO+a×OA=0所以a⊥PA,即l⊥PA.

例2 已知直线m,n是平面内的两条相交直线,

如果

lm,ln,求证:l.

【解析】要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.

证明:在α

内作任一直线g,分别在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.因为m与n相交,故向量m,n不平行,由向量共面的充要条件知,存在惟一的有序实数对(x,y),使g=xm+yn,将上式两边与向量l作数量积，得l×g=xl×m+yl×n.因为l×m=0,l×n=0,所以l×g=0,即l⊥g.所以l⊥g,即l垂直于平面α内任一直线.所以l⊥α.（四）课堂检测

1.

已知a22,b2.判断真假: 1)若ab0,则a0,b0 ( )

2,ab2,则a与b的夹角大小为_____. 22)(ab)ca(bc)3)pq(pq)24)pqpqpq()()2222()

3.设a,b,c是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：

①(a·b)c(c·a)b=0 ②|a|-|b|<|ab| ③(b·c)a(c·a)b不与c垂直

④(3a+2b)·(3a2b)=9|a|- 4b中,真命题是( ) 22(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④

4.已知向量a,b满足a1,b2,ab3,则ab_____.

（五）课堂小结

1．因为空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角定义、数量积的意义与性质都与平面向量相同．

2．求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角，证明两向量垂直可转化为两个向量的数量积为零；求线段的长度可转化为用数量积的求模公式|a|＝a·a；求异面直线的夹角的关键是在两直线上构造向量，使用夹角公式解决.