1.1.1 命题名师教学实录

1.1.1

命

题

(第1课时)

教

材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-1

授课教师: 四川省峨眉第二中学校 黄建

一、教学目标

1．了解命题的定义，能判断一个语句是不是命题；

2．理解命题的构成，能够把命题转化为“若p，则q”的形式；

3. 会判断命题的真假．

二、教学重难点

教学重点1．了解命题的定义，能判断一个语句是不是命题；

2．理解命题的构成，能够把命题转化为“若p，则q”的形式；

3. 会判断命题的真假．

教学难点: 能够把命题转化为“若p，则q”的形式．

三、教学方法：启发式、问答式

四、教学用具：多媒体

五、教学过程：

在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的，你能举出一些例子吗？

答：判断一件事情的句子叫命题．

如：有两边相等的三角形是等腰三角形．

[预习导引] 1．命题的定义

(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

(2)判断为真的语句叫做真命题．

(3)判断为假的语句叫做假命题．

2．命题的结构

从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

要点一

命题的判断

例1 下列语句是命题的是(

) A．3x－2＝0 B．2-3＝8 C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树

答案

B 解析

A中x不确定，3x－2＝0的真假无法判断；B中2-3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．

规律方法

并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假．

跟踪演练1 判断下列语句是否是命题．

(1)求证3是有理数． (2)x＋2x-1≥0.

(3)你不是高二学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢苹果．

(5)一个正整数不是质数就是合数． (6)若x∈R，则x＋4x＋4＞0. (7)x＋3>0. 解

(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题．

要点二

命题真假的判断

例2 判断下列命题的真假：

(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；

(2)若x∈N，则x>x成立；

(3)若m>1，则方程x－2x＋m＝0无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆．

解

(1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题．反例：当x＝0时，x>x不成立．

(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x－2x＋m＝0无实数根．

(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．

规律方法

要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

跟踪演练2 下列命题：

①若xy＝1，则x、y互为倒数； ②四条边相等的四边形是正方形；

③平行四边形是梯形；④若ac>bc，则a>b. 其中真命题的序号是________．

答案

①④

解析

①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形．

要点三

命题的结构

例3 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

2223223222

(3)当ac>bc时，a>b； (4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

解

(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．

(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．假命题．

(3)若ac>bc，则a>b.假命题．

(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．真命题．

规律方法

把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不唯一．

跟踪演练3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)垂直于同一条直线的两条直线平行；

(2)负数的立方是负数；

(3)对顶角相等．

解

(1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．它是假命题．

(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数．它是真命题．

(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等．它是真命题．

1．下列语句不是命题的有(

) ①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x是R上的偶函数．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

答案

B 解析

①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．

2．下列命题中的真命题是(

) A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角

C．若a＝b，则|a|＝|b| D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

答案

C 解析

由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．

3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是______________，结论是________________．

答案

函数为y＝2x＋1 该函数是增函数

4．下列命题：

①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac>bc；④矩形的对角线互相垂直．

其中假命题的个数是________．

答案

4 解析

①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为22222

零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④菱形的对角线互相垂直．矩形的对角线不一定垂直．

课堂小结; 1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变，且不写在条件p中．

布置作业：

1．判断下列命题的真假．

(1)二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)有最大值；

(2)正项等差数列的公差大于零；

1(3)函数y＝的图象关于原点对称．

2x2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)当x＋y＝5时，x＝2且y＝3；

12(2)当m>时，mx－x＋1＝0无实根；

4(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0. （思考）3．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得由A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．

六、教学反思

命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性。它总是肯定什么，或者否定什么。教科书规定“可以判断真假的陈述句叫做命题。”，使我们对于一个语句是否命题的判断更加简单。根据这样的规定，如果一个语句不是陈述句（比如是疑问句、祈使句、感叹句等），那么这个语句就一定不是命题。命题是否正确，要看它是否与客观事实相符合，也就是要用实践来检验。因而，命题可以分为真命题和假命题。在一个命题系统中，一个命题的真实性已经为人类实践所证实而被认为不需要证明，并作为证明其他命题的依据，这样的真命题就是公理。如果命题的真实性是根据公理或其他已知的真命题经过符合逻辑的推理证明出来的，这样的真命题就是定理。