3.1.2 导数的概念教学设计方案

《导数的概念》教案

湟中县多巴中学 任启物

教学内容分析

1．导数的地位、作用

导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.

2．本课内容剖析

教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．

基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．

进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．

教学目的

1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；

2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；

3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；

4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；

5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．

教学重点

通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．

教学难点

使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．

教学准备

1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法；

2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；

3．制作《数学实验记录单》及上课课件．

教学流程框图

教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．

教学的主要过程设计如下：

教学过程设计

预计时教学内容

间（分）

教师活动

学生活动

教学评价

5分钟

1．复习准备

设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．

（1）提问：请说出函数从x1到回答问题后理解：

（1）复习过程x2的平均变化率公式．

应使学生明确 函数的平均变（1）．

（2）提问：如果用x1与增量△x化率表示．

表示平均变化率的公式是怎样的？

．

（3）高台跳水的例子中，在时（2）（3）学生在教师的讲 述中思考用什么量来 间段里的平均速度是零，而 反映运动员的运动状 实际上运动员并不是静止的．这说明态．

平均速度不能准确反映他在这段时

间里运动状态.

（4）提问：用一个什么样的量（4）让学生体会并明 来反映物体在某一时刻的运动状确瞬时速度的作用．

态？

（5）学生思考．

（5）提问：我们如何得到物体 在某一时刻的瞬时速度？例如，要求 物体在2S的瞬时速度，应该怎么解（6）学生观看视频并决？

思考．

（2）应使学生 明确平均速度 与瞬时速度的 关系，为下一阶 段实验活动作 铺垫．

（7）提问：这里所测得的真的是（7）期望或引导答出瞬时速度吗？

“是平均速度”．

（8）提问：怎样使平均速度更（8）学生回答，得出好的表示瞬时速度？

“时间间隔越小越（9）在学生回答的基础上讲述：

好！”

真正的瞬时速度根本无法通过（9）学生体会教师所

仪器测定，我们将平均速度作为瞬时讲结论．

速度的近似值；

为了使平均速度更好的表示瞬时速度，应该让时间间隔尽量小．

（1）向学生提出数学实验任务：

（1）学生在TI－nspire 已知跳水运动员在跳水过程中距离水面CAS上完成以下操作：

的高度与时间的函数h(t)=－4.9t2+6.5t+10，请你用计算器完成下列表格中t0=2秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变

化趋势．

数学实验记录单（1）

（2）学生操作得出如下结果，完成数学实验记x＞0时，在[2， x＜0时，在[2+x，录单（1）的填写：

2+x]内，2]内，

X

2．体会模型

设计意图：让学生在信息技术平台上，通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．

（1）应使学生在技术平台上通过多次实验感受到平均速度在→0时趋近于一个常数，并理解这个常数的意义．

（2）应使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．

x

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001

－0.1 －0.01 －0.001 －0.0001 －0.00001

15分钟

0.000001 －0.000001

你认为运动员在t0=2秒处的瞬时速度为

m/s．

（2）提问：x、g(x)的含义各是什么？

（3）提问：观察你自己的实验记录单，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？

先展示一个同学的实验结果，并让他说说他的发现，再将计算器的结果投影，引导同学们一起观察．

（4）将学生分四个组，让他们分别完成

t0=1.6、1.7、1.8、1.9时的实验记录单（2）

的填写，说出他们观察的结果，并将4个结果

写列在黑板上．

（3）让学生讲他所发现的规律．

（4）学生分4个组再次实验，分别完成本组的数学实验记录单（2）的

填写，并观察平均速度的变化趋势，回答教师的提问．

在学生实验与观察的基础上指出：

当趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．

（1）提问：你认为通过实验所得结果（常数）就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？

（1）学生思考，也可以讨论．

（2）学生化

应使学生通过动手计算，得到平均速度在→0时趋近于一个常数，并且这个常数就是瞬时速度．使学生理解极限符号表示的意义．

（2）让学生动笔化简t0=2对应的平

简t0=2处对应的平均速度的表达式，观察当△t0时平均速度表达式的变化趋势．

（3）学生化简t0=1.6处均速度的表达式．（化简结果为）

3．提炼模型

－13.1．

设计意图：使学生认识到平均速度当时10 间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的（5）提问：我们得到了t0=1.6、1.7、1.8、1.9时的瞬时速度，但极限模型．

这还不足以代表所有时刻的瞬时速度，能不能用同样的办法，得到t0时的瞬时速度？

启发学生化简平均速度的表达式，并与学生一起总结出：

启发学生归纳出结论：△t0时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一个精确值，它与变量△t无关，只与时刻t0有关．

果为）

（4）让学生动手化简t0=1.6对应的平均速度的表达式．（化简结

（3）引导学生从化简的表达式中发现当△t0时，对应的平均速度的表达式，观察当△t0时平均速度表达式的变化趋势．

（3）学生化简任意时刻t0处对应的平均速度的表达式，观察当△t0时平均速度表达式的变化趋势．

（4）学生根据教师的讲．

解理解平均速度的极限的意义．

（6）教师讲解：用表示所趋近的常数，

即．今后把这个常数叫做在处，当趋近于0时，平均速度的极限．比如，－13.1是在处，当△t趋近于0时的极限．

（1）给出下列图示：

（1）在教师的启发下思考函数的平均变化率与瞬时变化率之间的关系．

．

（2）回答教师的提问．

应使学生从“平均速度的极限是瞬时速度”这个具体的模型中抽象出导数的概念，并能理解导数是一个极限，明确导数的表示．

（2）针对上述图示，教师在启发后提问：

4．形成概念

设计意图：完成从运动物体的5 瞬时速度到函数瞬时变化率的过渡，形成导数的概念并给出定义．

函数f(x)在x= x0处的瞬时变化率可表示为

教师介绍如下的的表示方法：

（3）在学生理解了函数的平均变化率与瞬时变化率的关系后提问：函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？

通过前面的学习，我们知道平均速度就是函数h(t)的平均变化率．瞬时速度就是函数h(t)的瞬时变化率．同时，我们已经知道：平均速度在△t→0时的极限就是瞬时速度．那么，你能否说说，一般情况下，函数的平均变化率与瞬时变化率是一个什么关系？

（4）教师给出导数的定义：

函数在处的瞬时变化率

（3）理解函数导数的概念与

导数的表示方法．

称为在处的导数，记作或，即

．

（1）提问：你能说说求函数y=f(x)在x= x0处的导数的步骤吗？

教师在学生说的基础上要总结出步骤．

（2）讲解例1：

（1）学生思考并交流求函数在 x0处的导数的步骤．

（1）检查学生是否清楚求导数的步骤．

（2）检查学生5．应用概念

设计意图：让5 学生进一步理解导数概念，体会导数的应用价值，熟悉求导数的步骤．

能否准确地求出函数在某点的导数．

将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，（2）在教师讲需要对原油进行冷却和加热．如果第

x(h)时，原油的温度（单位:）为:f(x)=x-7x+15(0≤x≤8).计算

（3）求出强调：

后，回答第2小时的瞬时变化率为－3，说明在第2小时的意义．

附近，原油大约以的速度下降．

2解完后完成教师提出的练习．

（3）应使学生能利用计算结果解释导数（即瞬时变化率）的意义．

第2（h) 和第6（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

（3）提出练习：计算3h时原油温度的瞬时变化率，表述你所得结果的意义．

（1）让学生小结并交流．

（2）教师总结：

本节课学习了导数的概念，在这个过程中我们看6．小结作业

设计意图：让学生通过总结，进一步体5 会导数的意义及极限的思想，训练学生的概括能力．通过布置作业，巩固所学内容．

求导数的步骤大致分为以下三步：

第一步，求函数增量；

第二步，求平均变化率并化简；

第三步，求平均变化率的极限，即导数．

作业：

到：数学使不可能的事情变成现实；

导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零时，函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想．

（2）分层次提供作业，是为了满足不同层次学生的需求．

思考本节课所学内容，可以彼此之间交流自己的小结，回答教师提问. （1）使学生不仅能从知识的角度看所学过的内容，还能体会到寓于知识中的数学思想与方法．

A层：P10/2，3，4．

B层：A层+补充．

（补充）已知y=x．求：

3（1）；（2）．