3.2.1 几个常用函数的导数教案和课堂实录

§3.2.1几个常用函数导数

学习目标

1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；

2.学会利用公式，求一些函数的导数；

3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P88~ P89，找出疑惑之处）

复习1：导数的几何意义是：曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

复习2：求函数yf(x)的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量y

y（2）求平均变化率

x（3）取极限，得导数y/＝f(x)limy

x0x

=

二、新课导学

※

学习探究

探究任务一：函数yf(x)c的导数.

问题：如何求函数yf(x)c的导数

新知：y0表示函数yc图象上每一点处的切线斜率为

. 若yc表示路程关于时间的函数，则y

，可以解释为

即一直处于静止状态.

试试：

求函数yf(x)x的导数

反思：y1表示函数yx图象上每一点处的切线斜率为

. 若yx表示路程关于时间的函数，则y

，可以解释为

探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y2x,y3x,y4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数.

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

（3）函数ykx(k0)增（减）的快慢与什么有关？

※

典型例题

例1 求函数yf(x)1的导数

x

变式：

求函数yf(x)x2的导数

小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.

1例2 画出函数y的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线x方程.

变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.

变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.

小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.

※

动手试试

练1. 求曲线y2x21的斜率等于4的切线方程.

(理科用)练2. 求函数yf(x)x的导数

三、总结提升

※

学习小结

1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：

，

，

. 2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.

※

知识拓展

微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那正是在这里.”

学习评价

※

自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1.f(x)0的导数是（

）

A．0

B．1

C．不存在

D．不确定

2.已知f(x)x2,则f(3)（

）

A．0

B．2x

C．6

D．9 3. 在曲线yx2上的切线的倾斜角为的点为（

）

41111A．(0,0)

B．(2,4)

C．(,)

D．(,)

4162414. 过曲线y上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是

x5. 物体的运动方程为st3，则物体在t1时的速度为

，在t4时的速度为

.

课后作业

1. 已知圆面积Sr2，根据导数定义求S(r).

2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t天后，氡气的剩余量为A(t)5000.834t，问氡气的散发速度是多少？