3.2.1 几个常用函数的导数ppt配用优秀教学设计

几个常见函数的导数

一.知识点：

知识点一

几个常用函数的导数

原函数

f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2

1f(x)＝

xf(x)＝x

知识点二

基本初等函数的导数公式

原函数

f(x)＝c(c为常数)

f(x)＝xα(α∈Q*)

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax

f(x)＝ex

f(x)＝logax f(x)＝ln x

导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝αxα1

－导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x

1f′(x)＝－2

x1f′(x)＝

2xf′(x)＝cos_x

f′(x)＝－sin_x

f′(x)＝axln_a(a>0) f′(x)＝ex

1f′(x)＝(a>0且a≠1) xln a1f′(x)＝

x二.典例分析：

题型一

利用导数公式求出函数的导数

例1

求下列函数的导数：

π1x4(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝3；(4)y＝x3；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin2. 3x21－3－43′＝(x)′＝－3x；

解

(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln 5；(3)y′＝x3331(4)y′＝(x)′＝(x)′＝x4＝；(5)y′＝(log3x)′＝；

4xln 3444x431

x(6)y＝1－2sin2＝cos x，y′＝(cos x)′＝－sin x. 2反思与感悟

若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导．

题型二

利用导数公式解决切线有关问题

1例2

(1)已知P，Q为抛物线y＝x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，过P，Q分别2作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为________．

答案

(1，－4) 解析

y′＝x，kPA＝y′|x＝4＝4，kQA＝y′|x＝－2＝－2. ∵P(4,8)，Q(－2,2)，∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)，

即y＝4x－8，

y＝4x－8，x＝1，QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2，联立方程组得y＝－2x－2，y＝－4.

∴A(1，－4)．

(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．

解

设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直，

则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′|xx0＝cos x0，k2＝y′|xx0＝－sin x0，

要使两切线垂直，必须k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，

即sin 2x0＝2，这是不可能的．

∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．

反思与感悟

1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．

(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．

2．求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤

题型三

利用导数公式求最值问题

例3

求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．

2解

设切点坐标为(x0，x0)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．

111∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，∴切点坐标为(，)，

22411|－－2|2472∴所求的最短距离d＝＝. 82反思与感悟

利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．

三.课堂小结：

1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．

2．有些函数可先化简再应用公式求导．

xx如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 223．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．

一、选择题

1．下列各式中正确的个数是(

) ①(x7)′＝7x6；②(x1)′＝x2；③(－－113235)′＝－x－；④(x2)′＝x－；⑤(cos x)′＝－sin 2255xx；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A．3

B．4

C．5

D．6 答案

B 12．已知过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(

) x11111，2

B.，2或－，－2

C.－，－2

D.，－2

A.22222答案

B 111解析

y′＝′＝－2＝－4，x＝±，故选B. xx23．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(

) A．4

B．－4

C．5

D．－5 答案

A 解析

f′(x)＝axa1，f′(－1)＝a(－1)a1＝－4，a＝4. －－4．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b等于(

) A．4

B．－4

C．28

D．－28 答案

C 解析

∵点(2,8)在切线上，∴2k＋b＝8，①又y′|x＝2＝3×22＝12＝k，②

由①②可得：k＝12，b＝－16，∴k－b＝28. 115．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________. xf′2答案

－4 11解析

f′(x)＝－2，g′(x)＝m.∵g′(2)＝，∴m＝－4. xf′216．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为x________．

答案

(1,1) 五.

课后作业：

11．若f(x)＝sin x，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是(

) 2ππ2π5πA.

B.

C.

D.

3636答案

A 1解析

∵f′(x)＝cos x，∴f′(á)＝cos á＝，

2ð1∵á＝时，cos á＝，故选A. 322．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(

) A．4x－y－3＝0

C．4x－y＋3＝0

答案

A 解析

设切点(x0，y0)，

l的斜率k＝y′|x＝x0＝4x30＝4，x0＝1，

∴切点(1,1)，∴l的方程为y－1＝4(x－1)，

即4x－y－3＝0. 3．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(

) 11A.

B．－

C．－e

D．e ee答案

D 解析

y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则

y0＝kx0，

①y0＝ex0，

②k＝ex0，

③∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e. 4．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________．

B．x＋4y－5＝0 D．x＋4y＋3＝0

答案

3x－y－11＝0 解析

∵y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2)＝3(x＋1)2＋3≥3，

∴当x＝－1时，斜率最小，切点为(－1，－14)，

∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0. 115．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝22________. 答案

64 113解析

∵y＝x－，∴y′＝－x－，

222113∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，

222113∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．

22231令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a. 22∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

13191S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64. 222426．已知A、B、C三点在曲线y＝x上，其横坐标依次为1、m、4(1

9答案

4解析

如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B点的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大．

1f′(m)＝，A点坐标为(1,1)，C点坐标为(4,2)，

2m2－11119∴kAC＝＝，∴＝，∴m＝. 44－132m37．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．

解

设切点为(x0，y0)，

2则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x0－3，¡à切线方程为y＝(3x20－3)x＋16，

又切点(x0，y0)在切线上，¡ày0＝3(x20－1)x0＋16，

即x0－3x0＝3(x0－1)x0＋16，解得x0＝－2，∴切线方程为9x－y＋16＝0.

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