3.1.1 空间向量及其加减运算课程导入

成都市新都二中高中数学《选修2-1》导学案 编号： 班级： 姓名： 小组： 评价：

课题：3.1.1.空间向量及其加减运算

【使用说明及学法指导】

1.先精读一遍教材P84—P85，用红色笔进行勾画；再针对预习自学二次阅读并回答；

2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不完的课上再做；

3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑. 【学习目标】

1.理解空间向量的概念． 2.掌握空间向量加减运算的计算方法，及其简单的应用. 3..激情投入，让学生体会转化思想在对数函数中的作用.

(一)．新知初探

1．空间向量

【课内探究】

(1)在空间，我们把具有

和

的量叫做空间向量．记为a

或AB．

(2)

向量的大小叫做向量的 或 ．表示空间向量的有向线段的

叫做空间向量的模．记为

|a|或|AB|．

2．几类特殊的向量

我们规定，长度为

的向量叫做零向量.．记为

0

．

单位向量：模长为

的向量称为单位向量．

相反向量：与向量a长度

而方向

的向量，称为a的相反向量．记为

a．

相等向量：方向 且模 的向量称相等向量． 且 的有向线段表示同一向量或相等向量．

3．空间向量的加减运算

类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算．如图：

OBOAOC＝

；CAOAOC＝

．

4．空间向量加法的运算律

(1)交换律：a＋b＝

；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝

．

(二)．思考感悟

1．空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？

2．零向量没有方向吗？

3．在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？

4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致吗？

【课前预习】

【预习目标】

理解空间向量的概念，推导空间向量加减运算的计算方法，及其简单的应用. 【预习内容】①看书P84—85，,填写新知初探．②思考感悟提出的4个问题．

③预习例题与变式．

【预习自测】

1．已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，则AB＋BC＋CD为(

) A．AD

；

B．BD

；

C．AC

；

D．0 2．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA＝c，则BD＝________，AC＝________．

3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，则下列三个式子中：

①AB－CB＝AC；②AA＝CC；③AB＋BB＋BC＋CC＝AC. 其中正确的有________．

6.如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

(1)

AA－CB；

(2)

AA＋AB＋BC.

我的疑惑：

- 1 -

2014-2015成都市新都二中高一数学必修2导学案 编号： 班级： 姓名： 小组： 评价：

(三)．典例导悟

类型一 空间向量的概念辨析

[研一题] [例1]

判断下列命题的真假，并说明理由．

①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；

③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有ACA1C1；

④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

[悟一法] 1．熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；

2．判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约．

[通一类] 1．下列说法中正确的是 (

) A．单位向量都相等

； B．任一向量与它的相反向量不相等

C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，方向相同或相反

D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|

类型二 空间向量的加减运算

[研一题] [例2]

已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

(1)

ABBCC1C；

(2)

ABDAA1A.

[悟一法] 在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可．

[通一类] 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量AC1的共有(

)

- 2 - ①(ABBC)CC1；②(AA1A1D1)D1C1；

③(ABBB1)B1C1；④(AA1A1B1)B1C1. ⑤空间中任意两个单位向量必相等．

A．1个

；

B．2个

；

C．3个

；

类型三 利用空间向量的加减运算化简

[研一题] [例3]

化简(ABCD)(ACBD)＝________．

[悟一法] [点评]

以上三种方法都是化简向量表达式常用的方法．法一是把各向量转化为“首尾相连”的向量选择加法运算；法二是选择共起点的向量作减法运算；法三是把各向量都化为同一起点的向量，然后相消化简．

通一类] 3.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a、b、c表示以下各向量：

(1)

AP；(2)

A1N；(3)

MP.

(四)．我的总结：（知识体系）思悟升华

D．4个