3.3.1 两条直线的交点坐标第一课时教学实录

3.3.1 两条直线的交点坐标教学设计

栾城区第二中学

刘学进

教学目标分析

解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．“两条直线的交点坐标”安排在人教版必修2“平面解析几何初步”第三章第三节，是平面解析几何重要的基础知识．

《数学课程标准》要求在平面解析几何初步的教学中，应始终贯穿“数形结合”的思想方法，注重培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程，发展独立获取数学知识的能力．

本节课是在学习了二元一次方程组的解法、直线的方程等知识的基础上，用代数方法解决直线的有关问题．力图围绕两直线一般方程系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置关系，求出两直线的交点坐标．

教学内容解析

“两条直线的交点坐标”具有承前启后的重要作用，学生能够初步掌握坐标法，把几何问题转化为代数问题研究．为后面直线与圆的交点、曲线的交点乃至整个解析几何的学习提供基本的研究方法．

教学问题诊断

本节课从知识内容来说并不是很难，在教师的启发引导下，学生能够自主探究掌握两相交直线方程的交点坐标求法，但对坐标法的认识还比较模糊，对二元一次方程组的系数判定位置关系，以及运动变化相互联系的观点只是停留在表面．

教学对策分析

本节内容安排1课时，因是平面解析几何的基础知识，采用教师“启发引导”，学生“自主探究”的方式，学生乐参与、可接受、能探究．使用多媒体课件辅助教学能提高课堂效率，激发学习兴趣．

基于以上分析我确定以下教学目标、教学重点、教学难点、教学方法、教学思路及过程

教学目标：

1 通过对两直线一般方程系数的分析，发现直线的方程与位置关系之间的联系，熟练掌握联立一元二次方程组求两直线的交点坐标；

2

自主探究二元一次方程组的解与两条直线的位置关系，体现坐标法——几何问题代数化的过程，培养发现、研究、解决问题的能力；

3、通过探究过定点直线系的方程，培养运动转化思想。

4 在自主探究，合作交流，发现知识，解决问题的过程中，体验成功的快乐，享受创造

的愉悦．培养由特殊到一般，由具体到抽象的辩证思想，并进一步升华勇于探索，善于合作的品质．

教学重点：对转化思想的理解，求两条直线交点即解方程组确定交点坐标。

教学难点：过定点直线系的定点求法，对含参数解讨论。

教学方法：启发引导式

自主探究

合作交流

教学设计思路：

复习点与坐标的对应关系

设疑：已知两条直线相交，如何求两条直线的交点

师生总结求两条直线交点的方法（例1）

通过解方程求交点坐标，然后判断两直线的位置关系（例2）

求交点坐标，然后探究直线系的集合特征

课堂练习

课后作业

教学过程：

1. 讨论：如何用代数方法求方程组的解? 2. 讨论：两直线交点与方程组的解之间有什么关系？

讲授新课：

1. 教学直线上的点与直线方程的解的关系：

（1）

讨论：直线上的点与其方程Ax+By+C=0的解有什么样的关系？

（2）

练习：完成书上P102的填表.

几何元素

点P 代数表示

坐标P(x,y)

直线l

点P(x0,y0)在直线l上

点P(x0,y0)是l1、l2的交点

方程AxByC0

坐标(x0,y0)满足方程Ax0By0C0

坐标(x0,y0)满足方程组A1x0B1y0C10

A2x0B2y0C20上述情况表明：两直线的交点（即公共点）坐标满足由两条直线方程所组成的方程组。那么，如果两条直线相交，怎样求交点坐标？

（3）直线L上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解。反之直线L的方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。

2. 教学两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系

（1）讨论：点A（-2,2）是否在直线L1：3x+4y-2=0上？点A（-2,2）是否在直线L2：2x+y+2=0上？

（2）

A在L1上，所以A点的坐标是方程3x+4y-2=0的解，又因为A在L2上，所以A点的坐标也是方程2x+y+2=0的解。即A的坐标（-2,2）是这两个方程的公共解，因此（-2,2）是方程组

（3）讨论：点A和直线L1与L2有什么关系？为什么？

3、探究如何判断两直线l1、l2的位置关系，通过解方程组确定交点坐标

已知l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，

的解. A1xB1yC10将方程联立，得，对于这个方程组解的情况分三种讨论：

A2xB2yC20xx0（1）若方程组有唯一解，则l1、l2有唯一的公共点，此解就是交点yy0坐标P(x0,y0)，即相交

（2）若方程组无解，则l1、l2没有公共点，即平行；

（3）若方程组有无数多个解，则l1、l2有无数多个公共点，即重合。

上述情况表明：通过解方程组可以确定交点坐标；通过求交点可以确定两直线位置关系，即观察方程组解的不同情况得到l1、l2相交、平行、重合三种关系。即有如下结论：

A1B1

A2B2A1B1C1

A2B2C2A1B1C1

A2B2C2（4）出示例1：

求下列两条直线的交点：

有唯一解

相交

无解

平行

有无数个解

重合

L1：3x+4y-2=0，

L2：

2x+y+2=0．

解：解方程组

∴L1与L2的交点是M(-2，2)

（5）出示例2：判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。

（1）l1：xy0，l2：3x3y100

（2）l1：3xy0，l2：6x2y0

（3）l1：3x4y50，l2：6x8y100

4、直线系探究

问题：当变化时，方程3x4y2(2xy2)0表示什么图形？图形有何特点？

探究：取0,1……，得直线3x4y20，5x5y0，……作出图形可知，所有直线都过一个定点，该点为M(2,2)

结论：表示过l1：3x4y20与l2：2x4y20交点即定点M(2,2)的直线系。

总结提高：若l1:A1xB1yC10、l2:A2xB2yC20相交于M(x0,y0)，则方程(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0表示过l1与l2交点的直线系。

课堂练习：求证：不论取什么实数，直线(21)x(3)y(3)0都过一个定点，并求这个定点坐标。

解法一：给出两个特殊值，得到直线系中的两条直线，求出两条直线的交点。

解法二：由于方程对任意的都成立，那么就以为未知数，整理为关于的一元一次方程，再由一元一次方程有无数解的条件求得定点的坐标。

三、小结与作业

1、直线与直线的位置关系及其判断（解方程组求交点坐标、系数是否成比例）

2、求两直线的交点坐标，解二元一次方程组，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。

3、直线系方程及应用。

4、作业：习题3.3 A组

1、2、3、4