2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学设计第一课时

层级二

专题十二

三角恒等变换与解三角形

专题·跟踪检测

ππα＋＝sinα－，则tanα的值为(

) 1．已知cos33A．－1

C.3

B．1 D．－3 13131313解析：由已知得cosα－sinα＝sinα－cosα，整理得，＋sinα＝＋cosα，22222222即sinα＝cosα，故tanα＝1. 答案：B π1α－＝(

) 2．(2017·贵州贵阳一模)已知sin2α＝，则cos2431A.

32C.

3πα－

解析：解法一：cos24ππcosαcos＋sinαsin2

＝441＝(cosα＋sinα)2

211＝(1＋2sinαcosα)＝(1＋sin2α) 221211＋＝. ＝×23312α－π1＋1＋cos21＋sin2α32πα－＝解法二：cos2＝＝＝.故选C. 42223答案：C π13．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝(

) 43310A.

10C．－10

10B.10

101B．－

32D．－

3310D．－

1012解析：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，33AB＝25BC，AC＝BC. 33

1

在△ABC中，由余弦定理的推论可知，

AB2＋AC2－BC2cos∠BAC＝

2AB·AC2252BC＋BC－BC299＝

252×BC×BC33＝－10，故选C. 10答案：C 4．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是(

) A．a＝2b

C．A＝2B

B．b＝2a

D．B＝2A

解析：因为A＋B＋C＝π，sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sin(A＋C)＋2sinBcosC＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinBcosC＝sinAcosC. 又cosC≠0，所以2sinB＝sinA，所以2b＝a，故选A. 答案：A 5．(2017·山东德州模拟)在△ABC中，已知B＝60°，C＝45°，BC＝2，且AD⊥BC于D，则AD＝(

) A.3－1

C．3＋3

B.3＋1 D．3－3 解析：如图所示，由题意知∠BAC＝180°－60°－45°＝75°，则sin∠BAC＝sin75°＝sin(45°＋30°)＝6＋22321×＋×＝. 22224

22ABBCBCsinC4由正弦定理知，＝，所以AB＝＝＝＝2(3－1)．

sinCsin∠BACsin∠BAC6＋23＋142×在Rt△ABD中，有AD＝AB·sinB＝2(3－1)×答案：D πxπ－x＝cos2＋，则tanx等6．(2017·湖南郴州第四次教学质检)已知x∈(0，π)，sin324于(

)

2 3＝3－3. 2

1A.

2C.2

2

B．－2 D.2 πx＋＋1cos2ππ3111解析：由已知得sincosx－cossinx＝，即cosx－sinx＝－sinx＋，所3322222以cosx＝3.因为x∈(0，π)，所以tanx＝2. 3答案：D 7．(2017·四川成都一诊)若sin2α＝510，sin(β－α)＝，

510π3π，π，β∈π，，则α＋β的值是(

) 则a∈247πA.

45π7πC.或

449πB.

45π9πD.或

44πππππ5，π，故2α∈，2π.又sin2α＝，故2α∈，π，α∈，，∴解析：因为α∈4224253ππ5π25310π，，故β－α∈，，于是cos(β－α)＝－cos2α＝－.又因为β∈，∴cos(α＋224510253105102β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－－×＝，51021055π7π，2π，故α＋β＝. 且α＋β∈44答案：A 38．(2017·北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a. 7(1)求sinC的值；

(2)若a＝7，求△ABC的面积．

解：(1)根据正弦定理

accsinA33333＝⇒sinC＝＝×sin60°＝×＝. sinAsinCa772143(2)当a＝7时，c＝a＝3

733又sinC＝，

1413∴cosC＝1－sin2C＝. 14在△ABC中，

sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sinAcosC＋cosAsinC

3

＝313133×＋×

21421443＝，

71143∴S△ABC＝ac×sinB＝×7×3×＝63. 227ππ－α＝－1，α∈π，π. ＋α·9．(2017·安徽合肥质检)已知coscos63324(1)求sin2α的值；

(2)求tanα－1的值．

tanαππ＋αcos－α

解：(1)∵cos63ππ＋αsin＋α

＝cos66π112α＋＝－，

＝sin324π12α＋＝－. ∴sin32ππ∵α∈3，2，

4πππ，，

∴2α＋∈33π32α＋＝－，

∴cos32ππ2α＋－

∴sin2α＝sin33ππππ12α＋cos－cos2α＋·＝sinsin＝. 33332ππ2π，，∴2α∈，π. (2)∵α∈3231又由(1)知sin2α＝，

2∴cos2α＝－3. 2221sinαcosαsinα－cosα2cos2α∴tanα－＝－＝＝－＝－2×tanαcosαsinαsinαcosαsin2α12－32＝23. 10．(2017·河南豫北重点中学联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3acosC＝(2b－3c)cosA. (1)求角A的大小；

5πC－B－2sin2的取值范围．

(2)求cos22

4

解：(1)由正弦定理将原等式化为3sinA·cosC＝2sinBcosA－3sinCcosA，

从而可得，3sin(A＋C)＝2sinBcosA，

即3sinB＝2sinBcosA. 又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是cosA＝π又A为三角形的内角，因此A＝. 65πC－B－2sin2

(2)cos22＝sinB＋cosC－1 5π＝sinB＋cos6－B－1 5π5π＝sinB＋coscosB＋sinsinB－1 6633＝sinB－cosB－1 22πB－－1，

＝3sin65ππ0，，

由A＝可知，B∈66π2ππ－，，

所以B－∈663π1B－∈－，1，

从而sin62π3＋2，

B－－1∈因此，3sin－，3－1625πC－B－2sin2的取值范围为

故cos223＋2－2，

3－1. 3. 2

5