1.2.1 中心投影与平行投影国家获奖教案

1.2.1

中心投影与平行投影

1.2.2

空间几何体的三视图

学习目标

1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型．

知识点一

投影的概念

思考

由下图你能说出影子是怎样得到的吗？

梳理

(1)定义：由于光的照射，在________物体后面的屏幕上可以留下这个物体的______，这种现象叫做投影．

(2)投影线：______. (3)投影面：____________________. 知识点二

投影的分类

投影

中心投影

平行投影

定义

光由______向外散射形成的投影

在一束__________照射下形成的投影

特征

投影线______

投影线____

分类

________和________

知识点三

三视图

思考

如梦似幻！——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象．假如你站在水立方入口处的正前方或在“水立方”的左侧看水立方，你看到的是什么？若你在“水立方”的正上方观察水立方看到什么？

根据上述三个方向观察到的平面，能否画出“水立方”的形状？

梳理

三视图的概念

(1)定义

(2)三视图的画法规则

①________视图都反映物体的长度——“长对正”；

②________视图都反映物体的高度——“高平齐”；

③________视图都反映物体的宽度——“宽相等”．

(3)三视图的排列顺序：先画正视图，侧视图在正视图的______，俯视图在正视图的______．

类型一

中心投影与平行投影

例1

(1)①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 (2)如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的是________．(只填序号)

①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；

②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；

③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．

跟踪训练1

(1)已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC的关系是(

) A．全等

C．不相似

B．相似

D．以上都不对

(2)如图，E，F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________．(要求把所有可能的序号都填上)

类型二

三视图的画法与识别

命题角度1

三视图的识别

例2

一个长方体截去两个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的三视图为(

)

跟踪训练2

将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(

)

命题角度2

画几何体的三视图

例3

画出如图所示的几何体的三视图．

引申探究

例3(2)中的组合体改为如下图形，画出其三视图．

跟踪训练3

如图是同一个圆柱的不同放置，阴影面为正面，分别画出它们的三视图．

类型三

由三视图还原几何体

例4

(1)说出下面的三视图表示的几何体的结构特征．

(2)根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．

跟踪训练4

(1)根据图①②③所示的几何体的三视图，想象其实物模型，画出示意图．

(2)如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成．

1．一条直线在平面上的平行投影是(

) A．直线

B．点

C．线段

D．直线或点

2．如图，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，与甲、乙、丙相对应的标号是(

①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．

A．③①②

B．①②③

C．③②④

D．④②③

3．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(

) )

4．将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(

)

5．一个几何体的三视图如图所示，则其侧视图的面积为________．

1．理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所形成的影子，研究两者的不同之处．另外应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直线或线段不平行于投影线的情况．

2．空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间的相互转化，可以培养我们的空间想象能力．

答案精析

问题导学

知识点一

思考

光照射到不透明物体(比如手)上，在后面的屏幕上留下影子．

梳理

(1)不透明

影子

(2)光线

(3)留下物体影子的屏幕

知识点二

一点

交于一点

平行光线

平行

正投影

斜投影

知识点三

思考

“水立方”的一个侧面．

“水立方”的一个表面．

可以．

梳理

(2)①正、俯

②正、侧

③俯、侧

(3)右边

下边

题型探究

例1

(1)D (2)①③

解析

①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是B，C，D，A，所以投影是正方形，即①正确；②设正方体的棱长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，连接AG，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，知四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝5，所以四边形AGD′E不是菱形，即②不正确；对于③，由②可知两个投影四边形是对边分别相等的平行四边形，从而③正确．

跟踪训练1

(1)B

[根据题意画出图形如图．

ABOBBCOCAC由图易得＝＝＝＝，则△ABC∽△A′B′C′.] A′B′OB′B′C′OC′A′C′(2)②③

解析

其中②可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或面D1DCC1上的正投影．③可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的正投影．四边形BFD1E在正方体任何一个面上的正投影都不是①④. 例2

C 跟踪训练2

B

[由几何体的正视图和俯视图可知该几何体如图所示，故其侧视图为B中的图象．]

例3

解

如图所示．

(1)

(2)

引申探究

解

图中几何体实际为组合体，下部是三个正方体，上部是一个圆柱，按正方体和圆柱的三视图画法画出该组合体的三视图，如图所示．

跟踪训练3

解

三视图如图所示．

(1)

(2)

例4

(1)解

几何体为三棱台，结构特征如下图：

(2)解

此几何体上面可以为圆台，下面可以为圆柱，所以实物草图可以如图．

跟踪训练4

(1)解

三视图对应的几何体如下图所示．

(2)4 解析

由三视图知，由4块木块组成．如图．

当堂训练

1．D

2.D

3.D

4.B

5.4＋3