习题2.3教案和学案内容

《双曲线定义的应用》教学设计

一、课题背景

圆锥曲线在高中数学中的地位尤其重要，特别是在高考中通常以压轴题的形式出现，是高中数学的一个难点。双曲线是圆锥曲线其中的一种，课本当中介绍了双曲线的第一定义，当然这也是它的一个最基本的定义。本课题是对双曲线的定义在解题中的具体应用的探究和挖掘，要灵活运用双曲线的第一定义解题，要使学生对双曲线的定义有进一步的理解，同时也让学生进一步提高用代数方法解决几何问题的能力，体会数学结合思想和分类讨思想。

教学目标：

11111．知识目标：掌握双曲线第一定义的概念，并会灵活的应用。

11112．能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。

教学重点：双曲线的第一定义

教学难点：双曲线的第一定义及应用. 二、教法学法分析

1、教法分析

教育的本质不在于告诉他一个真理，而在教他怎样去发现真理。再基于本节课的内容特征和高二学生的个性特点，因此，我选用引导发现式教学并充分利用多媒体辅助教学，为

学生创造一个良好的学习情境。同时考虑带学生的个性差异，在各个环节进行分层次教学。2、学法分析

从学生原有的知识和能力出发，以自主探究为主，学会合作交流。学生动手、动口、动脑积极思维，进行“创造性”的学习。突出“四让”特点：

（1）规律让学生发现（2）疑难让学生研讨（3）公式让学生推导（4）结论让学生总结

三、教学程序分析：

为突出重点、突破难点，我设计了以下五个教学环节：

（一）复习旧知

（二）典例剖析，变式提升

（三）通法总结

（四）小结归纳，拓展深化

教学过程：111111111111111111111111111111

（一）复习旧知

苏联著名的心理学家鲁宾斯坦指出：“思维起始于问题，问题是思维的前提和方向”。所以我在设计本节课时，从学生已有的知识和能力出发，引导学生发现问题，使他们存疑、质疑，使其产生浓厚的兴趣。因此，我首先带领学生复习双曲线的定义及标准方程。

1、

(1)双曲线的定义：平面上到两定点F1、F2距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|的点的轨迹叫做双曲线.定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

(2)双曲线的标准方程：

22x2y2yx焦点在x轴：221

(a0,b0)

焦点在y轴：221

(a0,b0)其中ababa2b2c2

2、

对于焦点在x轴上的双曲线的有关性质：

（1）焦点：F1(-c,0),F2(c,0)；（2）渐近线:ybcx；（3）离心率：e>1

aa（二）典例剖析，变式提升

2222【例1】若动圆与圆x+y=1和圆x+y-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹

为

(

) A.

双曲线的一支

B.圆

C.抛物线

D.双曲线

[解析] 设动圆半径为r,圆心为O,圆x2+y2=1的圆心为O1,圆x2+y2-8x+12=0的圆心为O2,则由题意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2,∴|OO2|-|OO1|=r+2-r-1=1<|O1O2|=4,由双曲线的定义知,动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.

22【变式提升】已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x+y=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(

)

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.双曲线

22【例2】已知双曲线C:x-y=2的左、右焦点分别为F1, F2, O为坐标原点,点P在双曲线C 上,且|OP|=2,则三角形PF1F2的面积为__________. [解析] 由题意得a2=2,b2=2,∴c2=2+2=4,即c=2,∴|F1F2|=4.∵|OP|=2,|OF1|=|OF2|=2,∴∠

-

F1PF2=90°,∴

|PF2|=4,∴

=|PF1|·|PF2|=2.

∴|PF1|·

22【变式提升】已知双曲线C的方程为x-y=2, F1, F2为椭圆的两个焦点，点P在C上且

F1PF23

,

则三角形PF1F2的面积为______.

提问学生：是否有快速的方法计算出焦点三角形的面积呢？

接下来和学生共同推导双曲线焦点三角形的面积公式。

拓展提升

双曲线焦点三角形的面积公式的推导：

x2y21，F1，F2是它的两个焦点，过F1的直线在一支上有两个交点A、【例3】双曲线169B，若AB=10，则ABF2的周长为_________. [解析]由双曲线的定义可得AF2AF18,BF2BF18，两式相加可得AF2BF2AF1BF116，即AF2BF216AB26，故周长为36.

23x，一个焦点为F0,7，点A3【能力提升】双曲线C的渐近线方程为y2,0，

PAF周长的最小值为________. 点P为双曲线在第一象限内的点，则当点P的位置变化时，（三）通法总结

双曲线定义的应用策略

（1）根据动点与两定点的距离之差判断动点的轨迹是否为双曲线；

（2）利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题或焦点三角形问题；

（3）利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2aF1F2；③焦点所在坐标轴的位置

（四）小结归纳

双曲线的定义及应用

一、双曲线的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线. 二、定义的应用

1、判断点的轨迹

2、焦点三角形的相关问题

3、与焦半径有关的最值问题