1.2.1 中心投影与平行投影教学设计及教案分析

《中心投影与平行投影》教学设计

昌宁一中

黄秀兰

一、教学目标

（一）核心素养

通过观察几何体结构特征，掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的三视图，培养学生学会观察、分析、推理、论证的思维方法，培养学生空间想象能力，领悟数形结合的数学思想,感受数学就在身边，提高学生的学习立体几何的兴趣，培养学生大胆创新、

勇于探索、互相合作的精神，并形成良好的思维习惯。

（二）学习目标

1.了解中心投影和平行投影的概念，理解并掌握三视图的投影规律. 2.能画出简单空间图形（如长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图. 3.能根据三视图，运用空间想象能力，识别并说出它所表示的空间图形

（三）学习重点

1．中心投影、平行投影、斜投影、正投影的概念、三视图画法规则. 2.画出简单组合体的三视图，掌握好作图规则，初步培养学生的几何直观能力和空间想象

能力，进行空间几何体与其三视图的相互转化；

（四）学习难点

1．画出空间几何体的三视图及掌握几何体的三视图的性质.

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第11页至第14页，填空. 知识点一

投影的概念及分类

1.投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面. 2.投影的分类

3.当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：

①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；

②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；

③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；

④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；

⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比. 4.中心投影的优缺点：它能非常逼真的反映原来的物体，主要应用于绘画领域，也常用来概括的描绘一个结构或一个产品的外貌。由于投影中心，投影面和物体的相对位置改变时，直观图的大小和形状亦将改变，因此在另外的一些领域，比如工程制图或技术图样，一般不采用中心投影。

知识点二

三视图的概念及特征

1.定义：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图. 2.基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样.

3.通过分析主、俯、左三个视图反映的尺寸，归纳出三视图投影规律口诀：长对正，高平齐，宽相等. 思考：画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗？

答:是.由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直. 2．预习自测

（1）已知△ABC，若选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得三角形与△ABC(

) A．全等

B．相似

C．不相似

D．以上都不对

【答案】B 【知识点】中心投影的概念和性质

【解题过程】如图示，因为△A1B1C1是△ABC投影得到，所以△A1B1C1与△ABC所在的平面平行，所以ABSBBCSCAC，所以△A1B1C1∽△ABC.故选B.

A1B1SB1B1C1SC1AC11

【思路点拨】本题是一道关于中心投影的题目，解答本题的关键熟练掌握中心投影的概念和性质；由于选定的投影面与△ABC所在平面平行，所以出正确答案. （2）下列命题正确的是(

) A．矩形的平行投影一定是矩形

B．梯形的平行投影一定是梯形

C．两条相交直线的投影可能平行

D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点

【答案】D 【知识点】投影的概念及性质

ABSBBCSCAC，据此选A1B1SB1B1C1SC1AC11

【解题过程】矩形的平行投影可以是线段、矩形或平行四边形，∴A错.梯形的平行投影是梯形或线段，∴B不对；平行投影把平行直线投射成平行直线或一条直线，把相交直线投射成相交直线或一条直线，把线段中点投射成投影的中点，∴C错，D对.故选D. 【思路点拨】利用平行投影的定义，确定图形平行投影的结论，即可得出结论．

（3）一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是(

) A.球体

B.圆锥

C.圆柱

D.长方体

【答案】D 【知识点】简单空间图形的三视图

【解题过程】对于选项A，球的三个视图都是圆，故此几何体可以是球，A不是正确选项；对于选项B，圆柱的俯视图是圆，故B不是正确选项；对于选项C，圆锥的俯视图是圆，故C不是正确选项；对于选项D，长方体的三个视图都是矩形，其俯视图不可能是圆，故D为正确选项.故选D. 【思路点拨】由三视图的定义对四个选项依次验证，检验其是否符合题目要求，即可选取正确选项．

（4）根据下列三视图，说出立体图形的形状。

(1)(2)(3)

【答案】（1）圆台；（2）正四棱锥；（3）螺帽

【知识点】简单空间图形的三视图

【解题过程】（1）中三视图可知，上下底面为圆且平行，俯视图是一同心圆，正视图与侧视图为梯形，则（1）为圆台；（2）中俯视图为正方形，且对角线为实线，正视图与侧视图为三角形，那么（2）为正四棱锥；（3）中俯视图为正六边形，由侧视图与正视图中的实线和虚线的位置关系，可判断其为螺帽. 【思路点拨】由三视图想象出立体图

(二)课堂设计

1.知识回顾

用自己语言描述投影的概念；回顾初中学习三视图的定义. 问题探究

探究一

认识中心投影与平行投影

1．物体在灯光或日光的照射下，就会在墙壁或地面上产生影子.如图，

老师介绍中国的民间艺术皮影戏，提升学生的艺术情感。你能说出物体在灯光或日光的照射下，产生影子有什么不同吗？

2.请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？

图2 图2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？

观察图3，与投影面平行的平面图形，分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形的形状、大小有什么区别？

图3 活动：①从投影的形成过程来定义.

②从投影方向上来区别这三种投影.

③根据投影线与投影面是否垂直来区别.

④观察图3并归纳总结它们各自的特点

讨论结果：

①这种现象我们把它称为是投影. ②由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.

其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影幕. ③图2（1）的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；图2（2）和（3）的投影线平行，我们把在一束平行光线照射下形成投影称为平行投影. ④图2（2）中，投影线正对着投影面，这种平行投影称为正投影；图2（3）中，投影线不是正对着投影面，这种平行投影称为斜投影. ⑤在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的平面图形；在中心投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是相似的平面图形. 通过对比，我们总结中心投影与平行投影的定义，归纳出两种投影的区别. 【设计意图】对比中心投影与平行投影培养对知识的归纳整理能力．

探究二

认识三视图并总结三视图的相关特征★

请同学们回忆一下初中三视图的定义？

答：把从几何体前面、侧面、上面看到的图形分别叫做几何体的正视图、侧视图和俯视图.这是直观定义，它的数字特征又是什么？以长方体为例，借助与学习的正投影来观察一下.

问题：在三视图中标出长方体的长、宽、高。

观察图形总结三视图间的内在联系，总结作图规则：

投影规则：

（1）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度. （2）一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样，即正、俯视图——长对正；主、侧视图——高平齐；俯、侧视图——宽相等. （3）强调摆放顺序：侧视图放在正视图的右边，俯视图放在正视图的下边. 【设计意图】通过实物观察，直觉感知，易于接受，形象生动地刻画了三视图的形成，避免学生抽象地去想象．通过学生自己思考操作来寻求三视图中的量的关系，真正实践发现学习理念．引导学生总结三视图的内在规律．这是本节课教学活动的关键点! ●活动①回顾旧知，理解提升

1.画出下列简单几何体的三视图. （1）球

（2）圆柱

（3）圆锥

2.归纳并完成常见几何体的三视图.

常见几何体

长方体

正方体

圆柱

圆锥

圆台

球

正视图

矩形

正方形

矩形

等腰三角形

等腰梯形

圆

侧视图

矩形

正方形

矩形

等腰三角形

等腰梯形

圆

俯视图

矩形

正方形

圆

圆+点

同心圆

圆

【设计意图】通过学生自己动手，熟悉常见几何体的三视图，并对三视图的规则：长对正高平齐；宽相等进一步掌握. ●活动②

动手实践、合作交流

问题：下列三视图对应的是哪个几何体？

(1)

(2)

答：（1）是圆柱，（2）是圆锥. （2）下列三视图表示的是哪个几何体？

A 答：D. B C D

通过此题，强调在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出. 【设计意图】．培养学生逆向思维的能力，进一步熟悉常见几何体的三视图.

活动③

巩固基础，检查反馈

例1

下列说法中：

①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确的个数为(

) A.0

B.1

C.2

D.3 【知识点】平行投影和中心投影的定义和性质

【数学思想】

【解题过程】由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线，③不正确. 【思路点拨】准确理解平行投影和中心投影定义，结合生活中的实例加以解决．

【答案】B 同类训练

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)矩形的平行投影一定是矩形．(

) (2)平行四边形的平行投影可能是正方形．(

)

(3)两条相交直线的平行投影可能平行．(

) (4)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．(

) 【知识点】平行投影的性质．

【数学思想】

【解题过程】利用平行投影的概念和性质进行判断

【思路点拨】准确平行投影性质

【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

例2

如图点E，F分别是正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________．(要求把可能的序号都填上)

【知识点】正投影的概念．

【数学思想】由一般到特殊

【解题过程】利用点B、F、D1，E在正方体各面上的正投影的位置来判断．其中(2)可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或在面A1B1C1D1上的投影．

(3)可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影．

【思路点拨】1.画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)及这些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影．

投影问题与垂直关系紧密联系，投影图形的形状与投影线和投射图形有关系，在解决有些投影问题时，常借助于正方体模型寻求解题方法．

【答案】

(2)(3) 同类训练

1．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________．

①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；

②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；

③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．

【知识点】正投影的概念．

【数学思想】由一般到特殊

【解题过程】①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形．但AE＝1，D′E＝5，故四边形AGD′E不是菱形；对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．

【思路点拨】投影的关键是图形的关键点(如顶点，端点等)及这些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影即可. 【答案】

①③

●活动④

强化提升、灵活应用

例3 如图是按不同方式放置的同一个圆柱，阴影面为正面，画出其三视图.

【知识点】三视图的作法. 【数学思想】由一般到特殊，多角度看待问题. 【解题过程】

【思路点拨】(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”.

(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方. (3)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性. (4)在三视图中，要注意同一个几何题位置不同所得三视图是不一样的.

【答案】三视图分别如图所示.

同类训练

1.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（

）

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

【知识点】常见几何体的三视图

【数学思想】

【解题过程】正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A、B、C. 【思路点拨】常见几何体的三视图熟练掌握

【答案】D. 3. 课堂总结

知识梳理

（1）中心投影：光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形. （2）平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，分正投影、斜投影

（3）正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）

侧视图（从左向右）

俯视图（从上到下）

重难点归纳

（1）中心投影和平行投影的性质. （2）三视图的作法规律．

（三）课后作业

基础型

自主突破

1．一条直线在平面上的正投影是(

) A．直线

C．线段

【知识点】正投影的定义．

【数学思想】

【解题过程】当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置时其正投影均为直线．

【思路点拨】直线的不同位置影响投影．

【答案】D．

2．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是(

) A.圆柱

B.三棱柱

C.圆锥

D.球体

【知识点】常见几何体的三视图．

【数学思想】

【解题过程】由圆锥的三视图可知这个几何体可能是圆锥. 【思路点拨】熟悉常见几何体的性质

【答案】C．

3．一物体及其正视图如图：

B．点

D．直线或点

①

②

③

④

则它的侧视图与俯视图分别是图形中的________．

【知识点】三视图的作法．

【数学思想】

【解题过程】侧视图是矩形中间有条实线，应选③；俯视图为矩形中间有两条实线，且为上下方向，应选②. 【思路点拨】分别从左面看，从上面看得到图形即可.

【答案】

③②

4．图①和图②为两个几何体的三视图，根据三视图可以判断这两个几何体分别为________、________．

【知识点】常见几何体的三视图．

【数学思想】

【解题过程】根据三视图的形状联想几何体的结构．

【思路点拨】熟悉常见几何体的性质

【答案】圆台

四棱锥

5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(

)

【知识点】三视图的作法．

【数学思想】

【解题过程】

图从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的. 【思路点拨】熟悉常见几何体的性质

【答案】D 6．如图所示的长方体和圆柱的三视图是否正确？

【知识点】三视图的性质．

【数学思想】

【解题过程】画一个物体的三视图，不仅要确定其形状，而且要确定线段的长短关系．长方体和圆柱的正确三视图如图所示：

【思路点拨】长对正，高平齐，宽相等. 【答案】均不正确. 能力型

师生共研

7．两条相交直线的平行投影是（

）

A.两条相交直线

B.一条直线

C.两条平行直线

D.两条相交直线或一条直线

【知识点】平行投影的性质．

【数学思想】

【解题过程】借助于长方体模型来判断，如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，一束平行光线从正上方向下照射.则相交直线CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一条直线CD，相交直线CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD.

【思路点拨】借助于长方体使抽象问题形象化．

【答案】D．

8.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(

)

【知识点】三视图的性质．

【数学思想】

【解题过程】正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C. 【思路点拨】长对正，高平齐，宽相等

【答案】C. 探究型

多维突破

9．一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是(

)

【知识点】三视图的性质．

【数学思想】数形结合

【解题过程】几何体俯视图的轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C，D不正确；几何体的最上面的棱与正视图方向垂直，所以A不正确. 【思路点拨】由一般到特殊

【答案】B．

10．用数个小正方体组成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数.

(1)你能确定哪些字母表示的数？

(2)该几何体可能有多少种不同的形状？

【知识点】正方体的三视图．

【数学思想】构造

【解题过程】(1)面对数个小立方体组成的几何体，根据正视图与俯视图的观察我们可以得出下列结论：

①a=3,b=1,c=1; ②d,e,f中的最大值为2. 所以上述字母中我们可以确定的是a=3,b=1,c=1. (2)当d,e,f中有一个是2时，有3种不同的形状；

当d,e,f有两个是2时，有3种不同的形状；

当d,e,f都是2时，有一种形状. 所以该几何体可能有7种不同的形状. 【思路点拨】解决本题的关键在于观察正视图、俯视图，利用三视图规则中的“在三视图中，每个视图都反映物体两个方向的尺寸.正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸”.又“正视图与俯视图长对正,正视图与侧视图高平齐,俯视图与侧视图宽相等”,所以，我们可以得到a=3,b=1,c=1,d,e,f中的最大值为2．

【答案】7．

自助餐

1．下列实例中，不是中心投影的是________(填序号)．

①工程图纸；②小孔成像；③相片；④人的视觉．

【知识点】中心投影和平行投影的定义．

【数学思想】

【解题过程】由中心投影和平行投影的定义知，小孔成像、相片、人的视觉为中心投影，工程图纸为平行投影．

【思路点拨】

【答案】①．

2．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为________、________．

【知识点】三视图的性质．

【数学思想】

【解题过程】从左视图中得到高为2，正三棱柱的底面正三角形的高为23，可得边长为4. 【思路点拨】长对正，高平齐，宽相等．

【答案】2

4 3．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(

) A.圆柱

B.圆锥

C.四面体

D.三棱柱

【知识点】常见几何体的三视图．

【数学思想】

【解题过程】由三视图知识，知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形. 【思路点拨】按照定义，逐一验证．

【答案】A. 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是________(填图序)．

【知识点】常见几何体的三视图．

【数学思想】

【解题过程】由三视图可知该几何体上部分是一个圆台，下部分是一个圆柱，故填图④

【思路点拨】由俯视图可排除①②③.

【答案】④．

5．一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：

(1)该物体有多少层？

(2)该物体的最高部分位于哪里？

(3)该物体一共由几个小正方体构成？

【知识点】简单组合体的三视图．

【数学思想】

【解题过程】

(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来. (2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排. (3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个.该物体一共由7个小正方体构成. 【思路点拨】长对正，高平齐，宽相等．

【答案】(1)2．

(2)左侧第一排和第二排. (3)7.