2.2.4 平面与平面平行的性质主要内容及教案内容

2．2.3

平面与平面平行的性质

基础梳理

►思考应用

如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？有何作用？

解析：由面面平行的定义可知：如果两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，通过该结论，可利用面面平行推出线面平行，为证线面平行提供了一个方法．

自测自评

1．若α∥β，a⊂α，下列四个命题正确的是(B) ①a与β内所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内任意直线都不垂直；④a与β无公共点．

A．①②

B．②④

C．②③

D．①③④

2．已知α∥β，下面正确的是(D) A．若a⊂α，b⊂β则a∥b B．若a⊂α，b⊂β则a，b异面

C．若a⊂α，b∥β则a∥b D．若a⊂α，b⊂β则a∥β，b∥α

3.平面α∥平面β，若直线AB⊂α，直线CD⊂β，则直线AB和CD(C)

A．平行

B．是异面直线

C．是不相交的两条直线

D．不是异面直线

4．右图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为平行四边形．

解析：∵平面ABFE∥平面CDHG，

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，

平面EFGH∩平面CDHG＝HG，

∴EF∥HG.

同理EH∥FG，

∴四边形EFGH的形状是平行四边形．

基础达标

1．已知直线a∥平面α，则a与平面α内的直线的位置关系为(C)

A．相交

B．平行

C．异面或平行

D．异面

2．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α∥β的是(C) ①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；

②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；

③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；

④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α. A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

解析：对于①，垂直于同一直线的两个平面平行，故当a⊥α，a⊥β，α∥β，故①正确；

对于②，若γ⊥α，γ⊥β，α与β可能平行，也可能相交(此时α，β的交线与γ垂直)，故②不正确；

对于③，若a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α与β可能平行，也可能相交(此时a，b均与交线平行)，故③不正确；

对于④，存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可将α内的直线平移到β内的直线c，则有相交直线b，c都与平面α平行，根据面面平行的判定定理，可得④正确．故选C.

3．P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(B)

A．2∶25

B．4∶25 C．2∶5

D．4∶5 解析：易知平面ABC∥平面A′B′C′，

∴AC∥A′C′，BC∥B′C′，AB∥A′B′.

∴△A′B′C′∽△ABC.

又∵PA′∶AA′＝2∶3，

PA′A′C′2∴＝＝.

PAAC5S△A′B′C′4∴＝.

25S△ABC

4．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(B) 24A．16

B．24或

5C．14

D．20 解析：当点P在α，β的同侧时，BD＝平面之间时，BD＝24. 5．判断命题的真假(对的在括号内打“√”，错的打“×”)：

(1)平行于同一直线的两直线平行．(

) 24，当点P在α，β两5

(2)平行于同一直线的两平面平行．(

) (3)平行于同一平面的两直线平行．(

) (4)平行于同一平面的两平面平行．(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

6．(1)过平面外一点作该平面的平行平面只有一个，对吗？

(2)过平面外一点作该平面的平行直线只有一条，对吗？

(3)过平面外一条直线作该平面的平行平面一定有一个，对吗？

(4)两个平面不相交就一定平行，对吗？

答案：(1)对

(2)错

(3)错

(4)对

巩固提升

7．如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G是侧面对角线上的点，且BE＝CF＝AG.求证：平面EFG∥平面ABC.

证明：作EP⊥BB1交于点P，连接PF，

在正三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1中，易知A1B1⊥BB1，又EP⊥BB1，

∴EP∥A1B1∥AB.∴EP∥平面ABC，且又∵BE＝CF，A1B＝CB1，

∴CFBP＝.∴PF∥BC，则PF∥平面ABC.

CB1BB1BEBP＝.

A1BBB1∵EP∩PF＝P，∴平面PEF∥平面ABC.

∵EF⊂平面PEF，∴EF∥平面ABC.

同理：GF∥平面ABC.

∵EF∩GF＝F，∴平面EFG∥平面ABC. 8．如图，已知平面α∥平面β，线段PQ，PF，QC分别交平面α于A，B，C点，交平面β于D，F，E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积．

解析：平面α∥平面β，

∴AB∥DF，AC∥DE，

∴∠CAB＝∠EDF.

在△PDF中，AB∥DF，

PA＋AD7DF＝·AB＝AB，

PA34同理DE＝AC.

7

14S△DEF＝·DF·DE·sin∠EDF＝S△ABC＝96. 239．如右下图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点．求证：MN∥平面ADD1A1.

证明：如下图所示，取CD的中点K，连接MK、NK.

∵M、N、K分别为AE、CD1、CD的中点，

∵MK∥AD，MK⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1

∴MK∥平面ADD1A1，同理NK∥平面ADD1A.

而MK与NK相交，

∴平面MNK∥平面ADD1A1.

∵MN⊂平面MNK，

∴MN∥平面ADD1A1.

1．面面平行的性质定理揭示了面面平行中蕴涵着线线平行，通过面面平行可得到线线平行，同时给出了证明线面平行的一种方法．

2．线线平行、线面平行、面面平行之间的关系：

线线平行线面平行面面平行．

3．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质．