3.1直线的倾斜角与斜率（通用）名师教学视频（文字实录）

基

础

巩

固

一、选择题

1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(

) A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数

[答案]

A 2．函数y＝sin2x的单调减区间是(

) A.π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z) B.kπ＋π34，kπ＋4π(k∈Z) C.[π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z) D.kπ－πkπ＋π4，4(k∈Z) [答案]

B [解析]

由2kπ＋πx≤2kπ＋3π2≤22，k∈Z得

kπ＋π34≤x≤kπ＋4π

∴y＝sin2x的单调减区间是[kπ＋π3π4，kπ＋4](k∈Z)．3．函数y＝2cosx－1的最大值、最小值分别是(

A．2、－2

B．1、－3 C．1、－1

D．2、－1

)

[答案]

B 4．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于π直线x＝3对称的函数是(

) πA．y＝2sin(2x＋3)

xπC．y＝2sin(2＋3)

[答案]

B π[解析]

根据函数的最小正周期为π，排除C，又图象关于x＝3对ππ称，则f(3)＝2或f(3)＝－2，代入检验得选B. 5．使cosx＝1－m有意义的m的取值范围为(

) A．m≥0

C．－1

[答案]

B [解析]

∵－1≤cosx≤－1，∴－1≤1－m≤1. ∴0≤m≤2. 6．函数y＝cos2x在下列哪个区间上是减函数(

) ππA．[－4，4]

πC．[0，2]

[答案]

C [解析]

∵y＝cos2x，∴2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)，

π即kπ≤x≤kπ＋2(k∈Z)，

π3πB．[4，4] πD．[2，π]

B．0≤m≤2 D．m<－1或m>1 πB．y＝2sin(2x－6) πD．y＝2sin(2x－3)

π亦即[kπ，kπ＋2](k∈Z)为y＝cos2x的单调递减区间．

π而[0，2]显然满足上述区间，故选C. 二、填空题

7．y＝sinx的定义域为____________，单调递增区间为________．

[答案]

[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)

[2kπ，2kπ＋π2]，k∈Z

[解析]

∵sinx≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，y＝sinx在[0，π2]上单调递增．

∴其递增区间为：[2kπ，2kπ＋π2]，k∈Z. 8．函数＝2cos(2x－π3)的单调增区间是____________．

[答案]

[kπ＋273π，kπ＋6π]，(k∈Z) [解析]

令t＝2x－π3，

∴2kπ＋π≤t≤2kπ＋2π时，y＝cos t单调递增．

即：2kπ＋π≤2x－π3≤2kπ＋2π，k∈Z. ∴单调递增区间为：[kπ＋273π，kπ＋6π]，k∈Z. 三、解答题

9．求y＝sinπ3－x的单调递增区间．

[解析]

∵y＝sinπ3－x＝－sinπx－3，

π]时，

π∴要求原函数的单调递增区间，只需求y＝sinx－3的单调递减区间．

ππ3π令2kπ＋2≤x－3≤2kπ＋2(k∈Z)，

5π11∴2kπ＋6≤x≤2kπ＋6π(k∈Z)．

π∴y＝sin3－x的单调递增区间是

5π112kπ＋，2kπ＋π(k∈Z)．

6610．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝2sin2x；

3x3π(2)f(x)＝sin(4＋2)；

(3)f(x)＝1－cosx＋cosx－1. [解析]

(1)显然x∈R，

f(－x)＝2sin(－2x)＝－2sin2x＝－f(x)，

∴f(x)＝－2sin2x是奇函数．

3x3π3x(2)∵x∈R，f(x)＝sin(4＋2)＝－cos4，

3x3x∴f(－x)＝－cos(－4)＝－cos4＝f(x)，

3x3π∴函数f(x)＝sin(4＋2)是偶函数．

1－cosx≥0(3)由，得cosx＝1，∴x＝2kπ(k∈Z)，

cosx－1≥0

此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数. 能

力

提

升

一、选择题

1．y＝2sinx2的值域是(

) A．[－2,2]

C．[－2,0]

[答案]

A [解析]

∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，

∴y＝2sinx2∈[－2,2]．

sinx2．函数y＝是(

) 2＋cosxA．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

[答案]

A sin－x－sinx[解析]

定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，则2＋cos－x2＋cosxf(x)是奇函数．

3．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a等于(

) A．0

B．1

C．－1

D．±1 [答案]

A [解析]

解法一：易知y＝sinx在R上为奇函数，

∴f(0)＝0，∴a＝0. 解法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即sin(－x)－|a|＝－sinx＋|a|，－sinx－|a|＝－sinx＋|a|. ∴|a|＝0，即a＝0. ππ4．(重庆高考)下列函数中，周期为π，且在[4，2]上为减函数的B．[0,2] D．R

是(

) πA．y＝sin(2x＋2)

πC．y＝sin(x＋2)

[答案]

A [解析]

C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、πππD；B项中y＝cos(2x＋2)＝－sin2x，该函数在[4，2]上为增函数，不π合题意；A项中y＝sin(2x＋2)＝cos2x，该函数符合题意，选A. 5．(陕西高考)对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是(

) ππA．f(x)在(4，2)上是递增的

B．f(x)的图象关于原点对称

C．f(x)的最小正周期为2π

D．f(x)的最大值为2 [答案]

B π[解析]

由于函数y＝sinx在(2，π)上是递减的，所以f(x)＝sin2xππ在(4，2)上是递减的，故A选项错误．

因为f(－x)＝sin2(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B选项正确．

6．函数y(x)＝－cos xln x2的部分图象大致是图中的(

) πB．y＝cos(2x＋2) πD．y＝cos(x＋2)

[答案]

A [解析]

函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，

f(－x)＝－cos(－x)ln(－x)2＝－cos xln x2＝f(x)，

则函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项C和D；当x∈(0,1)时，cosx>0,00，此时函数f(x)的图象位于x轴的上方，排除选项B. 二、填空题

7．(西南大学附中2012－2013期中)函数f(x)＝2cosωx(ω>0)在xππ∈[－3，4]上的最大、最小值之和为0，则ω的最小值为________．

[答案]

3 π8．(2012·长沙调研)已知函数f(x)＝3sin(ωx－6)(ω>0)和g(x)＝

π2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，2]，则f(x)的取值范围是____________．

3[答案]

[－2，3] [解析]

∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，

∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，

π∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－6)，

πππ5π∵0≤x≤2，∴－6≤2x－6≤6，

1π∴－2≤sin(2x－6)≤1，

3π∴－2≤3sin(2x－6)≤3，

3即f(x)的取值范围是[－2，3]．

π9．(2011～2012·无锡高一检测)函数y＝sin(x－6)，x∈[0，π]的值域为________．

1[答案]

[－2，1] 三、解答题

π1＋1的最大值，及此时自变量x的取2x－10．求函数y＝3cos4值集合．

π[解析]

∵x∈R，∴－1≤cos2x－4≤1. π214∴3≤3cos2x－4＋1≤3. 

π14∴函数y＝3cos2x－4＋1的最大值是3. ππ此时2x－4＝2kπ(k∈Z)，∴x＝kπ＋8. 即此时自变量x的取值集合是

πxx＝kπ＋，k∈Z. 8

111．已知函数f(x)＝log2|sinx|. (1)求其定义域和值域；

(2)判断其奇偶性；

(3)求其周期；

(4)写出单调区间．

[解析]

(1)由|sinx|>0得sinx≠0，∴x≠kπ(k∈Z)．

即函数定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

1又0<|sinx|≤1，∴log2|sinx|≥0. ∴函数的值域为[0，＋∞)．

(2)∵f(x)的定义域关于原点对称，

11且f(－x)＝log2|sin(－x)|＝log2|－sinx| 1＝log2|sinx|＝f(x)．

∴f(x)为偶函数．

(3)函数f(x)是周期函数，

11∵f(x＋π)＝log2|sin(x＋π)|＝log2|－sinx| 1＝log2|sinx|＝f(x)，

∴f(x)的周期T＝π.

1(4)∵y＝log2u在(0，＋∞)上是减函数，

πu＝|sinx|在kπ，kπ＋2(k∈Z)上是增函数，

π在kπ－2，kπ(k∈Z)上是减函数．

π∴f(x)在kπ－2，kπ(k∈Z)上是增函数，

πkπ，kπ＋在2(k∈Z)上是减函数．

π即f(x)的单调增区间是kπ－2，kπ(k∈Z)，

π单调减区间是kπ，kπ＋2(k∈Z)．

53π12．设函数f(x)＝sinx＋acosx＋8a－2，x∈[0，2]的最大值是1，2试确定a的值．

53532[解析]

f(x)＝sinx＋acosx＋8a－2＝1－cosx＋acosx＋8a－2＝2a212a－(cosx－2)＋8(2a＋5a－4)．(1)若0≤2≤1，即0≤a≤2，当cosxa＝2时，

123f(x)最大，此时8(2a＋5a－4)＝1，解得a＝2；

a(2)若2>1，即a>2，当x＝0时，即cosx＝1时，

a1f(x)最大，此时－(1－2)2＋8(2a2＋5a－4)＝1，

20解得a＝13(不符合条件，舍去)；

aπ(3)若2<0，即a<0，当x＝2时，即cosx＝0时，

a212f(x)最大，此时－(0－2)＋8(2a＋5a－4)＝1，

123解得a＝5(不符合条件，舍去)．综上可得a＝2.