3.1.1 变化率问题教案推荐

3.1.1变化率问题

§3.1.1变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授

（一）问题提出

问题1

（1）在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

（2）

在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

仅比较一个量的变化是不行的. 问题2

某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：

3.1.1变化率问题

思考：

从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？

从A到B这一段与从B到C这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？

案例中，从B到C位移“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化增加快慢呢？

（1）yC－yB的大小能否作为量化BC段“陡增”的量？

（2）还必须考察什么量？

（3）如何量化？你会怎么做？

当时间x从1增加到32时，位移增加了y(32)-y(1)=18.6-3.5=15.1(m) y(32)－y(1)15.1＝≈0.5(m/s)

平均变化率

32－131当时间x从32增加到34时，位移增加了y(34)-y(32)=33.4-18.6=14.8 y(34)－y(32)14.8＝7.4(m/s)

平均变化率

34－322如果将上述问题中的函数关系用y=f(x)表示，那么你能定义什么是平均变化率吗？

（二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子

f(x2)f(x1)表示,x2x1

称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

2．若设xx2x1, ff(x2)f(x1)

(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) 3．

则平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf

xxx2x1xy y=f(x) f(x2) △y =f(x2)-f(x1)

直线AB的斜率

f(x1) O △x= x2-x1

x1

思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率

ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1x2 x

3.1.1变化率问题

三．典例分析

例1已知函数

f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，2]；（2）[1，3]；（3）[-3，-1]；（4）[-1，1]；

（5）[1，1.1]；（6）[1，1.01]. （7）[1，1.001]. （8）[0.9，1]；

（9）[0.99，1]；（10）[0.999，1]. 求函数y＝f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是

总结：(1)Δx＝x2－x1≠0，且可正可负；

(2) Δy可正可负，也可为零；

(3)平均变化率可正可负，也可为零．

(4)平均变化率可正可负可为零，正负号分别表示变化量的增加或减少,平均变化率的绝对值的大小反映变化量变化的快慢程度．

平均变化率的缺点:它不能具体说明函数在这一段区间上的变化情况.

例2．

求yx2在xx0附近的平均变化率。

y(x0x)2x0解：y(x0x)x0，所以

xx22x02x0xx2x02x0xx222

所以yx2在xx0附近的平均变化率为2x0x

四．课堂练习

1．质点运动规律为st3，则在时间(3,3t)中相应的平均速度为

．

2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

253t3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当2

3.1.1变化率问题

Δx=0.1时割线的斜率. 五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

六．布置作业

1. 课本P79

习题3.1

第1题；

2.预习第3.1.2节瞬时变化率----导数．