1.4.2 存在量词板书设计及意图

人教A版选修2－1《1.4.2存在量词》教学设计

云南省牟定县第一高级中学

余光辉

一、学习目标

1.通过生活和数学中的丰富实例，理解存在量词的意义以及特称命题的意义；

2.掌握特称命题真假性的判定；

3.能正确地对特称命题进行否定。

二、教学重难点

教学重点：①理解存在量词的意义以及特称命题的意义；②掌握特称命题真假性的判定。

教学难点：①正确使用存在性命题；②能正确地对特称命题进行否定。

三、课型：新授课

四、教学手段：多媒体

五、学法指导：自学课本完成导学提纲，小组合作，动手实践。

六、教学过程：

（一）探究与启示

探究1：下列语句是命题吗?(1)与(2)之间有什么关系? (1)2x+1=3；

(2)存在一个x∈R,使2x+1=3; 关系: (2)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(2)变成了可以判断真假的语句. 探究2：下列语句是命题吗?(3)与(4)之间有什么关系? (3) x能被2和3整除;

(4)至少有一个x∈Z, x能被2和3整除。

关系: (4)在(3)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句. 师：在探究1、探究2中，“存在一个”、

“至少有一个”称存在量词，含有存在量词的命题称为特称命题。

（二）授新课：

Ⅰ. 存在量词

定义：短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。存在量词的表示: 用“∃”表示。

Ⅱ.特称命题

含有存在量词的命题叫做特称命题。

特称命题的表示:“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号

简记为∃x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”. 【例1】下列命题中哪些是特称命题？

（1）对所有的实数x，都有x 2≥0；

（2）存在实数x，满足x 2≤0；

（3）至少有一个实数x，使得x 2－2＝0成立；

（4）存在有理数x，使得x 2－2＝0成立；

（5）∀x∈R,都有x2-x+1>0 ; （6）∃α0、β0,使cos(α0－β0)=cosα0－cosβ0; （7）∀x,y∈N,都有x-y∈N. 【例2】设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出特称命题“∃x∈R,q(x)”

解析：①存在实数x,使x2=x成立

②至少有一个x∈R,使x2=x成立

③对有些实数x,使x2=x成立

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④有一个x∈R,使x2=x成立

⑤对某个x∈R,使x2=x成立

【例3】下列语句是不是全称或特称命题？

(1) 有一个实数a, a不能取对数

(2) 所有不等式的解集A,都是A⊆R (3) 三角函数都是周期函数吗? (4) 有的向量方向不定。

Ⅲ.特称命题真假判断

①要判断特称命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可. ②如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题是假命题. 【例4】判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数. 解析：(1)由于∀x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在. 所以,特称命题(1)是假命题. (2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以,特称命题(2)是假命题. (3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题(3)是真命题. （三）自我检测

1.下列说法正确吗？

对xM,pxxM,px，

反之则不成立．

2. (2014·烟台高二检测)下列四个命题中的真命题为(

C

) A.∀x∈R,x2-1=0

B.∃x0∈Z,3x0-1=0 C.∀x∈R,x2+1>0

D.∃x0∈Z,1<4x0<3 3.若“∃x0∈R, x02+2x0+2=m”是真命题,则实数m的取值范围是

. 依题意,方程x2+2x+2-m=0有实数解,所以Δ=4-4(2-m)≥0,解得m≥1.

答案:[1,+∞) 注：此题教师安排学生甲、学生乙到黑板上进行板演。

（四）《存在量词》小结

（五）《存在量词》反思

通过本节课的学习，我们已经：

1.理解了存在量词及特称命题的定义；

2.会判断一个命题是全称命题还是特称命题；

3.会判断全称命题、特称命题的真假。

（六）作业安排

1、预习1.4.3；

2、完成习题P26 1.4 A组NO.2；

复习参考题P30 A组NO.5

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（七）板书设计

探究1 （1）

（2）

探究2 （2）

（4）

Ⅰ. 存在量词

Ⅱ.特称命题

【例1】

【例2】

【例3】

【例4】

以上例题由多媒体展示，教师释疑解惑

自我检测

1. 2. 3.

学生甲：板演3

教学反思1、2、3

作业安排：1、2

学生乙：板演3

（八）课后练习

1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ B ）[来源:Z,xx,k.Com] A．所有奇数都是质数 B．xR,x11

C．对每个无理数x，则x也是无理数 D．每个函数都有反函数

222．将“x+y≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ A ）

A．x,yR，都有x2y22xy B．x,yR，都有x2y22xy

C．x0,y0，都有x2y22xy D．x0,y0，都有x2y22xy

3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是（ D ）

A．xR,x10 B．xR,x10

C．xR,sinxtanx D．xR,sinxtanx

4．下列命题中的假命题是（ B ）

A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ

5．对于下列语句

（1）xZ,x3；（2）xR,x2 （3）xR,x2x30； （4）xR,xx50

22222222其中正确的命题序号是 （2）（3） 。（全部填上）

6．命题(ab)b12abb1是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。

参考答案：[来不是全称命题，补充条件：ab1（答案不惟一）

(ab)2(ab)ab当ab1时, ab0，b10[来源:学科网]源:学.科.网] b1b1b17.命题“存在实数x，使x>1”的否定是( C ) A.对任意实数x，都有x>1 B.不存在实数x，使x≤1

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C.对任意实数x，都有x≤1 D.存在实数x，使x≤1

8.已知关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围. 【提示】

不等式有解问题是特称命题，只须Δ≥0即可. 9.已知命题p：∀x∈R,9－3－a＝0，若命题p是假命题，求实数a的取值范围. 【精彩点拨】

﹁22xx﹁p是假命题，即p是真命题，再求a. ﹁【自主解答】

由于p是假命题，所以p是真命题，

即对任意实数x,9－3－a＝0恒成立.设3＝t，由于x∈R，则t∈(0，＋∞)，

则9－3－a＝0⇔a＝(3)－3⇔a＝t－t，t∈(0，＋∞)，

1111设f(t)＝t－t，t∈(0，＋∞)，则f(t)＝t－－，当t＝时，f(t)min＝－，

242422xxxxxx2x211则函数f(t)的值域是－，＋∞，所以实数a的取值范围是－，＋∞. 4410.若将第9题中命题p改为：∃x∈[0,1]，9－3－a＝0，若命题p是假命题，求实数a的取值范围. 【解】

设3＝t，x∈[0,1]，∴t∈[1,3].

xxx﹁1111a＝t－t，t∈[1,3]，∵t－t＝t－－，∴t2－t∈－，6.即a的取值范围是－，6. 244422211.下列命题中是全称命题，且为假命题的是( D ) A.存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 B.偶函数图象关于y轴对称

C.∃m∈R，x＋mx＋1＝0无解 D.∀x∈N，x＞x

12.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( D ) A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数

13.命题p：∃x0∈R，x0＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为p：________. 特称命题

假

∀x∈R，x＋2x＋5≥0

14.已知命题p：ax＋2x＋1＞0，若对∀x∈R，p是真命题，求实数a的取值范围. 【解】

由题意可得，∀x∈R，ax＋2x＋1＞0恒成立. (1)当a＝0时，ax＋2x＋1＝2x＋1＞0，显然不恒成立，不合题意. (2)当a≠0时，要使ax＋2x＋1＞0恒成立，

a＞0，则4－4a＜0，22222﹁2232

解得a＞1.综上可知，所求实数a的取值范围是(1，＋∞).

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