复习参考题第二课时 公开课

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、教材分析：逻辑联结词“或”“且”“非”以及全称量词与存在量词．常用逻辑用语以函数方程、不等式、复数、三角、向量、点线面的位置关系为载体. 二、考向分析：逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度且考查频率较低. 三、学情分析：本节内容学生掌握的情况较好，对命题真假的判断部分同学判断不准确，对复合命题求参问题是学生的问题所在，这里需要做重点和难点处理. 四、教学目标：1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2.理解全称量词和存在量词的意义．

3.能正确地对含一个量词的命题进行否定. 五、教学重点：含有逻辑联结词的命题真假的判断，全（特）称命题的否定及真假的判断，复合命题求参问题. 六、教学难点：命题真假的判断，复合命题求参问题. 七、教学方法：问题探究式

八、教学用具：多媒体

九、教学过程：

（一）基础巩固

1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断❶

p 真

真

假

假

2．全称量词与存在量词

量词名称

全称量词

存在量词

常见量词

所有、一切、任意、全部、每一个等

存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等

表示符号

∀

∃

q 真

假

真

假

p∧q❷

真

假

假

假

p∨q❸

真

真

真

假

¬p❹

假

假

真

真

3．全称命题与特称命题

命题名称

命题结构

命题简记

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全称命题

特称命题

对M中任意一个x，有p(x)成立

存在M中的一个x0，使p(x0)成立

∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 4．含有一个量词的命题的否定

命题

∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

命题的否定❺

∃x0∈M，¬p(x0) ∀x∈M，¬p(x) 含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与¬p→真假相反．

“p∧q”⇔“p且q”，“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中解释为“交集”．

“p∨q”⇔“p或q”，“或”的数学含义有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q，即两者中至少要有一个．“或”在集合中的解释为“并集”．

“¬p”⇔“非p”，“非”的含义有四条：

①“非p”只否定p的结论；

②p与“非p”的真假必须相反；

③“非p”必须包含p的所有对立面；

④“非p”必须使用否定词语．“非”在集合中的解释为“补集”.

区别一般命题的否定与全(特)称命题的否定，关键在于其否定的对象是不同的．全(特)称命题否定的对象也有量词．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(

) (2)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(

) (3)“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．(

) (4)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

二、选填题

1．若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，则¬p为(

) 2A．不存在x0∈R，使得x30－x0＋1＜0 2B．存在x0∈R，使得x30－x0＋1＜0 C．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0 2D．存在x0∈R，使得x30－x0＋1≥0 解析：选D

命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0的否定¬p：存在x0∈R，使

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2得x30－x0＋1≥0.故选D. 2．下列命题中的假命题是(

) A．∃x0∈R，log2x0＝0

C．∃x0∈R，cos x0＝1

B．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0 解析：选B

对于A，令x＝1，成立；对于B，x＝0时，不成立；对于C，令x＝0，成立；对于D，根据指数函数的性质知成立．故选B. 113．已知命题p：若x>y，则－x＜－y；命题q：若>，则x＜y.在命题①p∧q；②p∨q；xy③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是(

) A．①③

C．②③

B．①④

D．②④

解析：选C

由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③¬q为真命题，则p∧(¬q)为真命题；④¬p为假命题，则(¬p)∨q为假命题．故②③是真命题．

4．命题“正方形都是矩形”的否定是______________________________________．

答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形

5．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x2若0＋4x0＋a＝0”．命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________．

解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．

由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；

由∃x0∈R，使x20＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4. 则实数a的取值范围为[e,4]．

答案：[e,4]

（二）问题突破

问题一

含有逻辑联结词的命题真假判断

[典例精析]

例1 (1)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(

) A．p∨q

C．(¬p)∧(¬q)

(2)已知命题p1：函数y＝2x－2p2：函数y＝2x＋2－x－xB．p∧q

D．p∨(¬q) 在R上为增函数，

在R上为减函数，

则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是(

) A．q1，q3

B．q2，q3

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C．q1，q4

D．q2，q4

[解析]

(1)由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A. (2)∵y＝2x在R上是增函数，y＝2∴y＝2x－2－x－x在R上是减函数，

在R上是增函数，

－x∴p1：函数y＝2x－2p2：函数y＝2x＋2－x在R上为增函数是真命题．

在R上为减函数是假命题，

故q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，q3：(¬p1)∨p2是假命题，q4：p1∧(¬p2)是真命题．

故真命题是q1，q4，故选C. [答案]

(1)A

(2)C [解题技法]

判断含有逻辑联结词命题真假的3个步骤

[过关训练]

(2019·荆州调研)已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)4＝x＋的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨(¬q)，则其中真x命题的个数为(

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选C

在方程x2－2ax－1＝0中，由于Δ＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝04有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋的值为负值，故命题q为假命x题．所以p∨q，p∧(¬q)，(¬p)∨(¬q)是真命题，故选C. 问题二

全(特)称命题的否定及真假判断

[典例精析]

例2 (1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(

) A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0

(2)下列四个命题：

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11x0；

p1：∃x0∈(0，＋∞)，x＜02311p2：∃x0∈(0,1)，logx0>logx0；

231x1p3：∀x∈(0，＋∞)，>logx；

221110，，x＜logx. p4：∀x∈323其中的真命题是(

) A．p1，p3

C．p2，p3

B．p1，p4

D．p2，p4

[解析]

(1)“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D. 1x1x(2)对于p1，由幂函数的单调性知当x∈(0，＋∞)时，总有2>3成立，故p1是假命1111题；对于p2，当x0＝时，有1＝log1＝log1>log1成立，故p2是真命题；对于p3，结合指22233321x1数函数y＝2与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，21x10，1上的图象可以判断p4是真命题．

结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在233[答案]

(1)D

(2)D [解题技法]

1．全称命题与特称命题真假判断的方法

（1）直接法

（2）间接法

2.全称命题与特称命题的否定

(1)改写量词

(2)否定结论

[过关训练]

π0，，使得cos x0≤x0，则¬1．已知命题p：∃x0∈p为(

) 2π0，，使得cos x0>x0

A．∃x0∈2π0，，使得cos x0＜x0

B．∃x0∈2π0，，总有cos x>x

C．∀x∈2π0，，总有cos x≤x

D．∀x∈2解析：选C

原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x≤x”的否定

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是“cos x>x”．故选C. 2．(2019·芜湖、马鞍山联考)已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lg x0，命题q：∀x∈R，ex>x，则(

) A．命题p∨q是假命题

B．命题p∧q是真命题

C．命题p∧(¬q)是真命题

D．命题p∨(¬q)是假命题

解析：选B

显然，当x＝10时，x－2>lg x成立，所以命题p为真命题．设f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)>0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以f(x)≥f(0)＝1>0，所以∀x∈R，ex>x，所以命题q为真命题．故命题p∧q是真命题，故选B. 问题三

[典例精析]

2例3 已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x＋mx＋1>0，若p或q为假根据命题的真假求参数的取值范围

命题，求实数m的取值范围．

[解]

依题意知p，q均为假命题，当p为假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q为真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得m≥0，

m≤－2或m≥2，

即m≥2. 所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．

变式1．(变条件)若本例条件中的“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．

解析：依题意，当p为真命题时，有m＜0；

当q为真命题时，有－2＜m＜2，

m＜0，由可得－2＜m＜0. －2＜m＜2，

所以实数m的取值范围为(－2,0)．

答案：(－2,0) 2．(变条件)若本例中的条件q变为：存在x0∈R，x20＋mx0＋1＜0，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．

解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，

m≥0，所以m>2或m＜－2.由得0≤m≤2，

－2≤m≤2，

所以m的取值范围是[0,2]．

答案：[0,2]

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[解题技法]

根据全(特)称命题的真假求参数的思路

1.本质是恒成立问题或存在性问题．

2.转化思想：条件⇒含参的方程或不等式(组)⇒解方程或不等式(组)⇒参数的值或范围

[过关训练]

1．(2019·福建三校联考)若命题“∃x0∈R，使得3x20＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是(

) A．(－3，3) B．(－∞，－3]∪[3，＋∞) C．[－3，3] D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 解析：选C

命题“∃x0∈R，使得3x2即“∀x∈R,3x2＋2ax0＋2ax0＋1＜0”是假命题，＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤

3.故选C. 2．已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________________．

解析：由关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；

由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，

知不等式ax2－x＋a>0的解集为R，

a>0，1则解得a>. 22Δ＝1－4a＜0，

因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，

所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，

a≤0或a≥1，0＜a＜1，故1或1

a>a≤，221解得a≥1或0＜a≤，

210，∪[1，＋∞)．

故实数a的取值范围是210，∪[1，＋∞) 答案：2

十、课堂小结

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[课时跟踪检测]

一、题点全面练

1．(2019·河南质量监测)已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16>8x，则命题p的否定为(

) A．¬p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16≤8x

B．¬p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16＜8x

C．¬p：∃x0∈(1，＋∞)，x20＋16≤8x0

D．¬p：∃x0∈(1，＋∞)，x20＋16＜8x0

解析：选C

全称命题的否定为特称命题，故命题p的否定¬p：∃x0∈(1，＋∞)，x20＋16≤8x0.故选C. 2．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(

) A．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 B．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 C．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 D．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 解析：选B

∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B. 3．下列命题中为假命题的是(

) A．∀x∈R，ex>0

C．∃x0∈R，ln x0＜1

B．∀x∈N，x2>0 πx0D．∃x0∈N*，sin＝1 2解析：选B

对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命11题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝时，ln＝eeπ－1＜1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sin＝1，故选项D为真命题．综2上知选B. 4．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy. 下列命题为假命题的是(

) A．p或q

C．q

B．p且q

D．¬p

π解析：选B

当x＝，y＝π时，满足sin x>sin y，但x＜y，∴命题p是假命题，显然2命题q是真命题．∴p或q是真命题，p且q是假命题，q是真命题，¬p是真命题．故选B. 35．已知命题p：∃x0∈N，使得x0＜x20；命题q：a，b∈R，若|a－1|＝|b－2|，则a－b

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＝－1.下列命题为真命题的是(

) A．p

C．p∨q

B．¬q

D．p∧q

解析：选B

由x3＜x2，得x2(x－1)＜0，解得x＜0或0＜x＜1，在这个范围内没有自然数，所以命题p为假命题；若|a－1|＝|b－2|，则a－1＝b－2或a－1＝－b＋2，即a－b＝－1或a＋b＝3，故命题q为假命题．故¬q为真命题，p∨q与p∧q为假命题．故选B. 6．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＜3x；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．下列命题为真命题的是(

) A．p∧q

C．(¬p)∧q

B．(¬p)∧(¬q) D．p∧(¬q) 解析：选B

由20＝30知，p为假命题；命题q：“x>1”不能推出“x>2”，但是“x>2”能推出“x>1”，所以“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题．所以(¬p)∧(¬q)为真命题．故选B. 7．(2019·佛山一模)已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝x＋1>0，给出下列结论：

①命题p∧q是真命题；

②命题p∧(¬q)是假命题；

③命题(¬p)∧q是真命题；

④命题(¬p)∨(¬q)是假命题．

其中正确的结论是(

) A．②③

C．③④

解析：选A

∵B．②④

D．①②③

1533x＋2＋≥>0，∴命题q>1，∴命题p是假命题．∵x2＋x＋1＝24425；命题q：∀x∈R，都有x2＋2是真命题．由真值表可以判断p∧q为假，p∧(¬q)为假，(¬p)∧q为真，(¬p)∨(¬q)为真，所以只有②③正确，故选A. 18．(2019·南昌模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x0x2>2x，则下列命题为真命题的是(

) A．p∧(¬q)

C．p∧q

B．(¬p)∧q

D．(¬p)∨q

11解析：选A

命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3，当x0＝3时，3＋>3，命题为真．命x03题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，当x＝4时，两式相等，命题为假．则p∧(¬q)为真，故选A.

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9．(2019·太原四校联考)给出下列三个命题：

p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；

2p2：∃a0，b0∈R，a20－a0b0＋b0＜0；

p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．

则下列命题中的真命题为(

) A．p1∨p2

C．p1∨(¬p3)

B．p2∧p3

D．(¬p2)∧p3

101解析：选D

对于p1，令f(x)＝ax＋x(a>0，且a≠1)，当a＝时，f(0)＝2＋0＝1，f(－21－11322a－b2＋b2≥0，所以1)＝－1＝1，所以p为假命题；对于p，因为a－ab＋b＝12224p2为假命题；对于p3，因为cos α＝cos β⇔α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题．所以(¬p2)∧p3为真命题，故选D. 10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则k的取值范围是________．

解析：“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，当k＝0时，则有－1＜0；当k≠0时，则有k＜0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0，综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]．

答案：(－4,0] 二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．已知命题p：所有的指数函数都是单调函数，则¬p为(

) A．所有的指数函数都不是单调函数

B．所有的单调函数都不是指数函数

C．存在一个指数函数，它不是单调函数

D．存在一个单调函数，它不是指数函数

解析：选C

命题p：所有的指数函数都是单调函数，则¬p：存在一个指数函数，它不是单调函数．

122．若∃x0∈2，2，使得2x0－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是(

) A．(－∞，22]

922，

C.2B．(22，3] D．{3} 121，2，，2，解析：选A

因为∃x0∈使得2x－λx＋1＜0成立是假命题，所以∀x∈002211，2，λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈2x

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1112时，f′(x)＜0，当x∈2，2时，f′(x)>0，所＝2x＋x，则f′(x)＝2－2，当x∈，x222以f(x)≥f2＝22，则λ≤22. 23．已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋22x＋1＜0的解集为空集；命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，若命题p∧(¬q)是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：因为∀x∈R，不等式ax2＋22x＋1＜0的解集为空集，所以当a＝0时，不满足a>0，x题意；当a≠0时，必须满足解得a≥2.由f(x)＝(2a－5)在R上满足2Δ＝22－4a≤0，5f′(x)＜0，可得函数f(x)在R上单调递减，则0＜2a－5＜1，解得＜a＜3.若命题p∧(¬q)2a≥2，5是真命题，则p为真命题，q为假命题，所以5解得2≤a≤或a≥3，则实2a≤2或a≥3，52，∪[3，＋∞)．

数a的取值范围是252，∪[3，＋∞) 答案：2(二)素养专练——学会更学通

4．[逻辑推理]“p∨q为真”是“¬p为假”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B

∵¬p为假，∴p为真，∴“p∨q为真”，反之不成立，可能q为真，p为假，¬p为真．∴“p∨q为真”是“¬p为假”的必要不充分条件．故选B. 5．[数学抽象]在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(

) A．(¬p)∨(¬q)为真命题

C．(¬p)∧(¬q)为真命题

B．p∨(¬q)为真命题

D．p∨q为真命题

解析：选A

命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题¬p是“第一次射击没击中目标”，命题¬q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(¬p)∨(¬q)为真命题，故选A. 6．[数学运算]给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

a>0，解：当p为真命题时，“对任意实数x都有ax＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或∴Δ＜0，2

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0≤a＜4. 1当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤. 4∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p，q一真一假．

11∴若p真q假，则0≤a＜4，且a>，∴＜a＜4；

44a＜0或a≥4，若p假q真，则1即a＜0. a≤4，1，4. 故实数a的取值范围为(－∞，0)∪4