1.1.2 四种命题教学设计

《1.1.2四种命题》教学设计

教学内容

本节内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1第一章1.1.2内容。

教材的地位与作用

数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处都涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证。本节课研究的内容既是对学生初中学习过的命题知识的延续和提高，又是后面研究充分条件和必要条件、全称量词和存在量词等知识的基础。同时也是培养学生用逻辑用语来阐明数学知识的需要，是人们在日常生活中进行思考、交流的需要。

三维目标

知识与技能

1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

2．四种命题之间的相互关系。

3．理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系。

4．用逻辑用语准确地表达数学内容。

过程与方法

通过实例说明四种命题形式的客观存在，使学生体会研究四种命题形式的必要性，采用启发式教学使学生明白四种命题的关系。

情感、态度与价值观

让学生感受用逻辑语言准确地表达数学内容的重要性，培养学生逻辑推理能力，掌握“正难则反”的数学思想。

教学重点

掌握四种命题之间的相互关系，理解互为逆否的命题同真同假的重要规律。

教学难点

在命题的四种形式中，判断其中两个命题的关系。

课时安排

1课时

教学过程

一、创设情境、导入新课

歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高傲地往前走，一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此的尴尬的局面，歌德只是笑容可掬，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我可恰恰相反。”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣。

提问：你能分析此故事中歌德与批评家的言语表达吗？

（两人的言语表达都运用了逻辑用语）

教师口述

2 “数学是思维的科学”。

逻辑是研究思维形式和规律的科学。

逻辑用语是我们必不可少的工具。

万丈高楼平地起，今天我们就来学习常用逻辑用语的基础——四种命题。

二、师生互动、意义建构

新知探究

下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？

(1)若|a|=|b|，则a=b；(2) x<2；

(3)垂直于同一个平面的两个平面平行；

(4)有三个角为直角的平面四边形是矩形。

回答：

（1）（3）为假，（4）为真，（2）不能判断真假。

命题：能够判断真假的语句。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

因此，（1）（3）为假命题，（4）为真命题，（2）不是命题。

提问：

我们在高一学过哪些数学知识？你能就其中的一块知识，举出一些命题的例子吗？

措施：教师针对学生所举出的例子先判断是否均为命题，再让学生判断真假。

（学生所举的例子中要出现“若p则q”的形式，否则教师自己补充，先让学生对比，再将所举例子改写成“若p则q”的形式）

下列四个命题中，命(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

(1) 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

(2) 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

(3) 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

(4) 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。

（请学生回答，教师点评补充）

回答：

命题(2)的条件和结论分别是命题(1)的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题，把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题；

命题(3)的条件和结论分别是命题(1)的条件的否定和结论的否定，我们称这两个命题为互否命题，把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题；

命题(4)的条件和结论分别是命题(1)的结论的否定和条件的否定，我们称这两个命题为互为逆否命题，把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题。

原命题：“若p则q”，则（原命题的）逆命题：

“若q则P”，（原命题的）否命题：

“若¬p则¬q（若非p则非q）”，

3 （原命题的）逆否命题：“若¬q则¬p（若非q则非p）”。说明：¬p、¬q分别表示p、q的否定。

提问：刚刚我们分别研究了命题(2)(3)(4)与命题(1)的关系，现在请同学们再研究命题(2)(3)(4)内部有何关系？

四种命题间的相互关系

(1)四种命题之间的关系

(2)四种命题间的真假关系

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？

(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？

[提示]

(1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．

(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．

三、数学应用

例题1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)相似三角形对应的角相等；

(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；

(3)正方形的对角线互相平分．

[解]

(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；

逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；

否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；

逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．

(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；

逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；

否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；

逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3. (3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；

逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；

逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．

[规律方法]

1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法

(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．

2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：

原词语

否定

词语

原词语

否定

词语

等于(＝)

大于(>)

小于(<)

是

都是

至多有一个

至少有两个

能

不等于(≠)

不大于(≤)

不小于(≥)

至少有一个

一个也

没有

至多有n个

至少有

(n＋1)个

不是

任意两个

某两个

不都是

任意的

某一个

(确定的)

所有的

某些

不能

[跟踪训练] 1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是(

)

A．若y≠kx，则x与y成正比例关系

B．若y≠kx，则x与y成反比例关系

C．若x与y不成正比例关系，则y≠kx

D．若y≠kx，则x与y不成正比例关系

D

[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成比例关系，故选D.] (2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．

若a，b至少有一个为零，则ab＝0

[“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．] 例题2 (1)对于原命题：“已知a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．4个

(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．

[思路探究]

(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．

(2)思路一

写出原命题的逆否命题→判断其真假

思路二

原命题与逆否命题同→判断原命真同假即等价关系

题的真假

题的真假→得到逆否命[解析]

(1)当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C. [答案]

C (2)法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0. 1∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－4<0，

∴原命题的逆否命题为真命题．

法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．

∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．

[规律方法]

判断命题真假的方法

1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证. 2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可. [跟踪训练] 2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．

(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；

(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；

(4)“对顶角相等”的逆命题．

[解]

(1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．

(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．

(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．

(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．

当堂检测

1．思考辨析

(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．

(

) (

) (3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．

[答案]

(1)×

(2)√

(3)√

2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是(

) A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”

B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”

D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”

B

[根据逆命题的定义知，选B.] 3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是(

)

(

)

A．原命题、否命题

C．原命题、逆否命题 B．原命题、逆命题

D．逆命题、否命题

C

[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.] 小结

本节内容学习了什么？

作业