3.2.1 几个常用函数的导数优秀完整教案

《利用导数研究函数零点》教学设计

1 教学内容分析

函数零点问题是高考重点考查的问题之一，主要涉及函数零点（或极值点）的个数，函数零点（或极值点）关系的不等式，函数极值（极值点设而不求）的最值（或范围）等问题，综合考查化归与转化、分类讨论、数形结合、换元等数学思想方法.上述问题中，函数零点的个数问题是“起点问题”，因此，本节课以零点问题的整体教学设计理念为指导，以“函数零点的个数问题”为主要教学内容，为后续问题的研究打下基础. 本节课作为高三二轮复习的专题课，是在一轮复习基础上的继续学习，教学在强化基本技能（构造函数、分离参数、曲线与曲线等方法）的同时，力求实现学生数学能力的提升，学会用“数学的眼光”阅读理解问题.

2 学生学情分析

学生在一轮复习之后，基本理解了函数的零点与方程的根的转化思想，掌握了利用导数研究函数零点个数问题的基本技能，构建了方法结构.在研究具体问题时，还存在不能灵活选择解题的最佳方法，不能熟练应用思想方法突破题意理解的障碍等问题.

3 教学目标设置

（1）通过第一个题组设置，强化研究函数零点问题的基本技能，突破方程等价转化的方法局限，概括提炼函数模型，渗透换元等数学思想方法；

（2）通过第二个题组设置，培养学生方法选择的意识与能力，发展用函数模型和变换的眼光阅读题目的意识，强化分类讨论等数学思想方法；

（3）通过第三个题组设置，培养学生灵活应用数学思想方法的能力，强化方程等价转化的意识，以及换元等数学思想方法；

（4）通过三个题组设置，培养学生用函数模型、变换、换元、函数运算等数学的眼光阅读理解题目的意识与能力，发展学生的数学素养.

4 教学重点难点

重点：函数零点个数问题的研究方法，以及转化能力的提升；

难点：如何提升函数零点个数问题的转化能力.

5 教学条件支持

本节课的教学以教师讲授与学生活动相结合，需要应用多媒体课件，切实提高课堂学习效率.因为教学环境的变化，需要提供手持麦克风，供学生发言使用，提供耳麦供教师讲课使用.

6 教学过程设计

6.1 复习回顾

转化原理：函数yf(x)的零点个数方程f(x)0的根的个数

方法结构：

（复习回顾以教师讲授为主）

【设计意图】通过复习回顾，梳理一轮复习的知识与方法，为本节课的继续学习做好铺垫，并强调函数零点个数问题可以先还原为方程根的个数问题，再通过对方程的等价变形进行多种方法的思考与选择，明确本节课的学习重点.

6.2 例题讲解

例1 若函数f(x)exax在x(0,)上仅有一个零点，求实数a的值. （教师引导，学生活动，分享问题的等价转化思路）

思路1（构造函数）f(x)exax在x(0,)上仅有一个零点. ex思路2（分离参数）原问题转化为y与ya在x(0,)上仅有一个公共点.

x思路3（曲线与曲线）原问题转化为yex与yax在x(0,)上仅有一个公共点. xx思路4（指数化对数+分离参数）由eax0，得eax，两边同时取对数得xlnalnx，分离参数得xlnxlna.故原问题转化为yxlnx与ylna在x(0,)上仅有一个公共点. 思路5（换元+分离参数）由exax0，令tex(t1)，则talnt0，分离参数得a原问题转化为yt.故lntt与ya在t(1,)上仅有一个公共点. lnt【设计意图】例1选择学生较为熟悉的函数，旨在让学生以“说思路”的方式巩固基本方法，强化基本转化方式，进而学习两种“新”的转化方式，突破方程等价转化的局限，突出换元思想的重要性. 变式 若函数f(x)eaxx在x(0,)上仅有一个零点，求实数a的取值范围. （学生活动，分享解题思路，教师引导选择最优解题思路）

【设计意图】变式将参数a从一次项系数调整到指数的一次项系数，旨在巩固方程“新”的转化方式，解题过程中，首先要将指数方程转化为对数方程，然后从三种常见方法中进行选择，优化解题思维，强调方法选择的意识. 教师：“熟悉的地方无风景”，看似熟悉的题目有如此多的转化方式，值得好好反思总结.除了将与指数有关的方程转化为与对数有关的方程的方法之外，不同的等价转化方式研究的函数各有不同，请同学们找一找，有哪些函数模型？

（学生齐答，教师总结，学生在教师的指导下整理函数模型表格中的两个函数模型）

函数模型表格

函数

exf(x)

xf(x)xlnx

f(x)x

lnxf(x)lnx

x图象

函数

f(x)x

exf(x)xex

f(x)xlnx

图象

【设计意图】总结归纳与指数、对数有关的常见函数模型，并类比提出若干其他函数模型.课堂教学重点让学生在表格中绘制函数f(x)xex和函数f(x)质，为例2、例3及其变式的题目构造做好铺垫. 例2 若函数f(x)xexa(x1)2在x(,0)上有两个零点，求实数a的取值范围. 【设计意图】从例1中指数函数与一次函数运算得到的函数，到例2中“类二次曲线”函数与二次函数运算得到的函数，暗藏题目的构造方式，引导学生用函数模型的眼光阅读理解题目，培养学生应用函数模型的意识，提升优化解题思维的能力. 变式 若函数f(x)(x2)exa(x1)2在x(,2)上有两个零点，求实数a的取值范围. 【设计意图】变式与例2紧密联系，形成一个有机的整体，将用函数模型和变换的眼光阅读理解题目的难点进行分解，例2重在突破应用函数模型的意识，变式重在突破变换的意识，以此提升学生解题的思维能力. 例3 若方程lnx的图象，明确两个“类二次曲线”的函数性xlnxaxa2在x(0,)上有两个根，求实数a的取值范围. x【设计意图】题目以“类二次曲线”函数与一次函数形成的方程为题，旨在继续培养学生用函数模型的眼光阅读理解题目的意识，强化数形结合等数学思想方法. 变式1 若函数f(x)ax(a2)xlnx在x(0,)上有两个零点，求实数a的取值范围. 【设计意图】变式1是例3中分式方程化为整式方程后，其中某个方程对应的函数，旨在培养学生方程等价转化的意识，强化分类讨论等数学思想方法. 变式2 若函数f(x)ae2x2(a2)exx在xR上有两个零点，求实数a的取值范围. 【设计意图】变式2与变式1紧密联系，通过换元将变式1构造形成变式2，旨在培养学生用换元的眼光阅读理解题目的意识，凸显换元或换元意识的重要性，以及方程等价转化的意识，进而提升数学思维能力.三个题目形成有机的整体，展示了一道复杂试题（变式2）的形成历程，由熟悉到陌生，发展学生的数学阅读能力，强化函数零点个数问题（或方程根的个数问题）的三种基本方法，以及数学思想方法的应用.

6.3 课堂小结

【设计意图】再次强调用函数模型、变换、换元的眼光阅读理解题目的意识，助力问题的转化，优化方法的选择，突出课堂教学的核心，这是本节课教学设计的明线；同时揭示用函数运算的眼光看待题目生成的方式，发展学生的数学素养，这是本节课教学设计的暗线.

6.4 作业布置

（1）分组研究函数模型（单调性、图象、极值点与极值等）

nexxnlnxxn，f(x)xnlnx,f(x)xnlnx

f(x)xe,f(x)n,f(x)x，f(x)xlnx,f(x)n,f(x)xexlnxnx其中，nN*.请特别关注n1,2的情形. （2）请根据自己的学习情况，在三组例题与变式中，各选择一题分别练习构造函数、分离参数、曲线与曲线等基本方法,以及变换、换元等意识. 【设计意图】作业（1）旨在通过研究常见函数模型的函数性质，强化函数的模型意识；作业（2）是课堂教学的补充，本节课的课堂教学重在等价转化思维的训练，因此，以课后进行书面表达的方式巩固和强化课堂所学.除此以外，作业以自主选择的方式呈现，旨在针对不同学力的同学实现自我的提升与成长.