1.1.3 四种命题间的相互关系名师课堂实录

1.1.3四种命题的相互关系

（一）教材分析

本节课是高中数学人教版选修1-1第一章《常用逻辑用语》第三课时的内容．前面已经介绍了四种命题的概念和形式，学生有了一定的基础，理解起来比较容易．这一节的学习也为后续学习充要条件奠定基础，所以本节课起到承上启下的作用．

（二）教学目标

◆知识与技能：

（1）认识四种命题间的相互关系及真假关系；

（2）会利用命题真假的等价性解决简单问题．

◆过程与方法：让学生从引例出发，合作探究，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

◆情感、态度与价值观：通过学生的合作探究，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

（三）教学重点与难点

重点：四种命题之间的相互关系．

难点：利用命题真假的等价性解决简单问题．

（四）教学过程

1．复习引入

四种命题的概念和形式是什么？

2．合作探究

探究一：对于下列命题，命题（1）与命题（2）（3）（4）之间有什么关系？

（1）若a0，则ab0；

（2）若ab0，则a0；

（3）若a0，则ab0；

（4）若ab0，则a0．

问题：你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？

（1）若a＝0，则ab＝0．

（2）若ab＝0，则a＝0．

（4）若ab0，则a0．

若a0，

则ab0．

（3）我们发现，命题（2）、（3）是互为逆否命题，命题（2）、（4）是互否命题，命题（3）、（4）是互逆命题．

形成结论：原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间存在以下相互关系：

原命题：若p则q．

否命题：若p则

q3.例题讲解

逆命题：若q则p．

逆否命题：若q则p．

例1

分别写出下列四个命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这些命题的真假．

（1）若xx，则x0；

（2）若a、b都是偶数，则ab是偶数；

（3）若x23x20，则x2；

（4）若x0,y0，则xy0．

（学生板演）

探究二：四种命题的真假性之间的规律

小组合作：将上述四组命题的真假情况填入下表，你能发现四种命题的真假性之间的关系吗？

（通过学生的答案，小组合作探究，完成下表）

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

假

（教师引导学生讨论，得出以下结论）

由表格学生可以发现：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

4．应用举例

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来达到目的．

例2

证明：若a2b22a4b30，则ab1．

分析：命题“若a2b22a4b30，则ab1”的条件和结论都含有否定词时，直接证明原命题不好证．要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若ab1，则a2b22a4b30”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．

例3

证明：若x2y20，则xy0．

分析：将“若x2y20，则xy0”视为原命题．要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若x、y中至少有一个不为0，则x2y20”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．

证明：若x、y中至少有一个不为0，不妨设x0，则x20，所以

x2y20，

也就是说x2y20．

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题．

5．巩固练习

已知函数f(x)是(,)上的增函数，a、bR，对命题“若ab0，则．写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

f(a)f(b)f(a)f(b)”

（五）小结

（1）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；

（3）原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价．

（六）布置作业

必做：教材p8习题1．1 A组3，4；

选做：教材p8习题1．1B组．

设计意图：

满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础．

（七）教后反思