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双曲线及其标准方程

广州市第十六中学

李慧梅

教学目标：

1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；

2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标准方程；

3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题；

4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。

教学重点：双曲线的定义和标准方程。

教学难点：双曲线标准方程的推导过程。

教学过程：

一、创设情景，引入新课 1、发现生活中的数学之美：如何求这优美的曲线？

2、回顾椭圆的定义：

3、“拉链实验”（小组合作展示），结论：

二、双曲线的定义及其标准方程

1、双曲线的定义

(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的

等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．

(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．

(3)焦点：两个定点F1、F2．

(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|，记为2c.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(

) (2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．(

) x2y2(3)在双曲线标准方程2－2＝1中，a>0，b>0且a≠b.(

) ab2．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3、下列方程各表示什么曲线? (1)(2)(x3)2y2(x3)2y24

(x3)2y2(x3)2y25

(3)(x3)2y2(x3)2y26

2、双曲线的标准方程

（1）双曲线标准方程的推导过程：

第一步：建立直角坐标系；

第二步：设点：设M(x，y)，焦点分别为F1(c,0)和F2(c,0)，M到焦点的距离差的绝对值等于2a；

第三步：列式：MF1MF22a

第四步：建立方程：(xc)2y2(xc)2y22a；

第五步：平方，化简，得到（2）双曲线的标准方程：

焦点在x轴上，双曲线标准方程为 ，其中c2_______，焦点分别为 焦点在y轴上，双曲线标准方程为 ，其中c2_______，焦点分别为 x2a2y2b21(a0,b0)，其中cab

222x2y2y2x21与1的焦点位置？

口答：判断169916思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点是在X轴上还是Y轴上？

结论：

4.已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则

(1) a=_______ , c =_______ , b =_______ (2) 双曲线的标准方程为_________ _____ (3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 则|PF2|=_________ 5、9x24y236的焦距为____，焦点坐标为_________.

6、y28x24的焦距为____，焦点坐标为_________.

三、典例分析：

探究点一

求双曲线的标准方程

求适合下列条件的双曲线的标准方程．

x2y2(1)

与椭圆＋＝1有共同的焦点，经过点(15，4)；

2736

(2)经过点(3，0)，(－6，－3)．

口答：满足：过点（2，2），且b=2a的双曲线有多少个？

小结：求双曲线的方法：

探究点二

含参方程的讨论

例2、（1）mx2＋ny2＝1可以表示哪些曲线？

x2y2(2)方程-=1表示双曲线时,求m的取值范围。

2mm1

探究点三

利用双曲线的定义求轨迹问题

例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

思考1:若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么? 思考2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?

变式1：已知两定点F1(5,0),F2(5,0),动点P满足PF1PF26, 求动点P的轨迹方程.

变式2:已知两定点F1(5,0),F2(5,0),动点P满足PF1PF26,求动点P的轨迹方程.

1．对双曲线定义的理解

双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．解题时，也要注意“绝对值”这一个条件，若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．

2．双曲线方程的求法

求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”．“定位”是指除了中心在原点之外，判断焦点在哪个坐标轴上，以便使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，“定量”是指确定a2，b2的值，即根据条件列出关于a2和b2的方程组，解得a2和b2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程．

3、双曲线与椭圆之间的区别与联系

课后巩固作业：

1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(

) A．C．2

2，0B．5

2，06

2，0D．(3，0) x2y22．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，若双曲线上一点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为(

) 259A．17

C．7或17

B．22 D．2或22 c33．已知双曲线C的右焦点为F(3，0)，＝，则C的标准方程是(

) a2x2y2A．－＝1 45x2y2C．－＝1 25x2y2B．－＝1 45x2y2D．－＝1 25x2y24．若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(

) k＋3k＋2A．－3＜k＜－2

B．k＜－3 C．k＜－3或k＞－2

D．k＞－2 5．已知双曲线的一个焦点F1(0，5)，且过点(0，4)，则该双曲线的标准方程为(

) x2y2y2x2A．－＝1

B．－＝1 916169x2y2y2x2C．－＝1

D．－＝1 925259y2x26．设m是常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．

m97．若点P到点(0，－3)与到点(0，3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为________．

8、求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)a＝25，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；

(2)焦点分别为F1(－10，0)，F2(10，0)，且经过点(35，－4)；

x2y29．(选做题)如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．

916

(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；

(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．