1.1.1 命题课堂实录【1】

1.1 命题及其关系

第1课时

命

题

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P2～P4，回答下列问题．

观察教材P2“思考”中的6个语句．

(1)这6个语句都是陈述句吗？

提示：是．

(2)能否判断这6个语句的真假性？

提示：能．

2．归纳总结，核心必记

命题及相关概念

 陈述句真命题：判断为真的语句命题分类

假命题：判断为假的语句形式： “若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做

命题的结论定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的[问题思考] (1)“x>5”是命题吗？

提示：不是．

(2)陈述句一定是命题吗？

提示：不一定．

(3)命题“当x＝2时，x－3x＋2＝0”的条件和结论各是什么？

提示：条件：x＝2；结论：x－3x＋2＝0．

(4)“若p则q”形式的命题一定是真命题吗？

提示：不一定．

(5)数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？

提示：是．

[课前反思] (1)命题的定义是：

；

(2)真、假命题的定义是：

22

1

；

(3)命题的条件和结论的定义是：

．

[思考] 一个语句是命题应具备哪两个要素？

提示：(1)是陈述句；(2)可以判断真假．

讲一讲

1．判断下列语句中，哪些是命题？(链接教材P2－例1) 1(1)函数f(x)＝在定义域上是减函数；

x(2)一个整数不是质数就是合数；

(3)3x－2x>1；

(4)在平面上作一个半径为4的圆；

(5)若sin α＝cos α，则α＝45°；

(6)2是一个大数；

(7)垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？

(8)若x∈R，则x＋2>0. [尝试解答] (1)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(2)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(3)当x∈R时，3x－2x与1的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题．

(4)不是陈述句，不是命题．

(5)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(6)是陈述句，但是“大数”的标准不确定，所以无法判断其真假，不是命题．

(7)不是陈述句，不是命题．

(8)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(1)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈述句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．

(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假．若能，就是命题；若不能，就不是命题．

(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．

(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题．

2 221002

练一练

1．下列语句中是命题的有________．(填序号) ①地球是太阳的一个行星．

②甲型H1N1流感是怎样传播的？

③若x，y都是无理数，则x＋y是无理数．

④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．

⑤60x＋9>4. ⑥求证：3是无理数．

解析：根据命题的概念进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题．因为⑤中自变量x的值不确定，所以无法判断其真假，故不是命题．因为⑥是祈使句，所以不是命题，故填①③④. 答案：①③④

2．判断下列语句是否是命题，并说明理由．

π(1)是有理数； 3(2)3x≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

(4)x－x＋7>0. π解：(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

3(2)因为无法判断“3x≤5”的真假，所以它不是命题．

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

2221272(4)因为x－x＋7＝x－＋>0，所以“x－x＋7>0”是真的，故是命题．

4222

讲一讲

2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(链接教材P3－例2、例3) (1)等边三角形的三个内角相等；

(2)当a>1时，函数y＝a是增函数；

(3)菱形的对角线互相垂直．

[尝试解答] (1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．

(2)若a>1，则函数y＝a是增函数．其中条件p：a>1，结论q：函数y＝a是增函数．

xxx

3

(3)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直．

(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．

(2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如，命题“在△ABC中，若a>b，则A>B”中，大前提“在△ABC中”是必不可少的．

练一练

3．将下列命题改写为“若p，则q”的形式．

(1)当a>b时，有ac>bc

(2)实数的平方是非负实数；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，必有y＝4，x＝3. 解：(1)若a>b，则ac>bc. (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数．

(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．

(4)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝4，x＝3.

讲一讲

3．判断下列各命题的真假，并说明理由．

(1)若a>b，则a>b；

(2)在△ABC中，当A>60°时，必有sin A>(3)两个向量相等，它们一定是共线向量；

(4)直线y＝x与圆(x－1)＋(y＋1)＝1相切．

[尝试解答] (1)假命题．例如，当a＝－3，b＝1时，a>b，但a>b不成立．

13(2)假命题．例如，当A＝150°时，A>60°，但sin A＝，不满足sin A>. 22(3)真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它们一定是共线向量．

(4)假命题．圆心(1，－1)到直线y＝x的距离为d＝2>1，所以直线与圆相离．

4 2222222222; 3；

2

(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．

(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题真假的办法：若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真；判定“若p，则q”是假，只需举一反例即可．

练一练

4．下列命题中是真命题的是(

) A．若3∈A，3∈B，则A∩B＝{3} B．若x＋x－2＝0，则x＝1 12C．若函数f(x)＝x－x，则f(x)有最小值－

4D．若log2x<1，则x<2 答案：C 5．判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)当x＝4时，2x＋1<0；

(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；

(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．

解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0. (3)是真命题，由x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0. (4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．

——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————

1．本节课的重点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)将命题改写成“若p，则q”的形式，找准命题的条件和结论，见讲2. (2)判断命题的真假性，见讲3. 3．本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．

课时达标训练（一）

[即时达标对点练] 2

5

题组1 命题的概念

1．下列语句中是命题的是(

) A．周期函数的和是周期函数吗？ B．sin 0°＝0 C．求x－2x＋1>0的解集 D．作△ABC∽△EFG

解析：选B A选项是疑问句，C、D选项中的语句是祈使句，都不是命题．

2．以下语句中：

①{0}∈N；②x＋y＝0；③x>x；④{x|x＋1＝0}．其中命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 解析：选B ①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．

题组2 命题的构成形式

3．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为_______________________________________．

答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除

4．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．

解析：a>0时，设a＝1，把(0，0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．

答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真

5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．

(1)乘积为1的两个实数互为倒数；

(2)奇函数的图象关于原点对称；

(3)与同一直线平行的两个平面平行．

解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．

22222p：两个实数乘积为1，q：两个实数互为倒数．

(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象关于原点对称”．它是真命题．

p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．

(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．

p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．

题组3 判断命题的真假

6．下列命题是真命题的是(

) A．所有质数都是奇数 B．若a>b，则a>b

6

C．对任意的x∈N，都有x>x成立 D．方程x＋x＋1＝0有实根

解析：选B 选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错，因为当x＝0时x>x不成立；选项D错，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程x＋x＋1＝0无实根．

7．下列命题中真命题有(

) ①mx＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：选A ①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．

8．下列命题中真命题的个数为(

) ①面积相等的三角形是全等三角形； ②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

③若a>b，则a＋c>b＋c; ④矩形的对角线互相垂直．

A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A ①错；②中若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线不一定互相垂直．

9．下列命题：

①y＝x＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0

解析：①为真命题；②③④为假命题．

答案：①

2223222322

7